Владивостокский Государственный Университет Экономики и Сервиса,

Институт Прикладной Математики ДВО РАН

На правах рукописи

Емцева Елена Дмитриевна

СИНГУЛЯРНАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ

ЗАДАЧА В ОБЛАСТЯХ ПЛОСКОСТИ

ЛОБАЧЕВСКОГО

01.01.01 – математический анализ

01.01.02 – дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: доктор физико-математических наук, профессор Катрахов В.В., доктор физико-математических наук, профессор Алексеев Г.В.

Владивосток 2009

Оглавление

Введение 4

1. Операторы преобразования 26

1.1. Операторы дробного порядка типа Лиувилля . . . . . . . . . . . 26 1.1.1. Операторы дробного порядка Лиувилля . . . . . . . . . . 26 1.1.2. Операторы дробного порядка по гиперболическим

косинусам типа Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.2. Общая теория операторов преобразования . . . . . . . . . . . . 30 1.3. Операторы преобразования на гладких функциях . . . . . . . . 41 1.4. Весовые следы гладких функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2. Функциональные пространства 56

2.1. О функциональных пространствах Соболева-Никольского-Бесова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.1.1. Одномерный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.1.2. Двумерный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.2. Сингулярные функциональные пространства в одномерном случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.2.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.2.2. Теорема о весовых следах . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.3. Разложение гармонических функций по угловым гармоникам . 66 2.4. Сингулярные функциональные пространства в

двумерном случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.4.1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.4.2. Теоремы вложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.4.3. Теоремы о следах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.5. Заключительное замечание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3. Краевая задача для эллиптических уравнений с особенностью в изолированных граничных точках 87 3.1. Постановка краевой задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.2. Изолированные особые точки гармонических

функций и единственность решения сингулярной

краевой задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.3. Существование и оценка решения сингулярной

краевой задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Список литературы 103

Введение

К настоящему времени в основном построена теория краевых задач для эллиптических, параболических и гиперболических уравнений и систем, рассматриваемых в областях с гладкими границами. Нарушение условия гладкости границы в этих задачах приводит к появлению у решения особенностей в окрестности нерегулярных точек границы. Одно из первых исследований в этом направлении было сделано Т. Карлеманом [110]. Основополагающей в этой области можно считать известную работу М.В.Келдыша [46], в которой были указаны основные особенности постановки краевых условий для уравнения второго порядка со степенным вырождением. Было установлено, что при одних соотношениях между коэффициентами на характеристической части границы необходимо ставить условие Дирихле, при других соотношениях - условие ограниченности решения.

К изучению краевых задач для уравнений в частных производных в областях с нерегулярными точками на границе приводят многие важные прикладные задачи. Как известно, для правильной постановки задачи в области с негладкой границей необходимо подобрать подходящие функциональные пространства, в которых рассматриваются решения задачи, правые части уравнения и граничных условий. Во многих таких задачах удобно использовать функциональные пространства с весовой нормой, где вес - некоторая степень расстояния до множества нерегулярных точек границы. Такие пространства функций в этих задачах правильно описывают особенности решения и его производных в окрестности нерегулярных точек границы. Эти особенности в большинстве случаев являются степенными.

Изучению общих краевых задач в областях с особенностями на границе типа угловой или конической точки посвящены работы В.Г. Мазьи и Б.А. Пламеневского. Ими изучались решения эллиптических краевых задач в пространствах типа L^{p}(Ω), 1 < p < ∞, а также в пространстве C^{k,α}(Ω), состоящем из функций, у которых все производные порядка k в области Ω удовлетворяют условию Гёльдера с показателем α. Они получили коэрцитивные оценки решений и доказали теоремы о нормальной разрешимости [116], [74]. В работах [116], [70] В.Г. Мазья и Б. А. Пламеневский установили для решения однородного эллиптического уравнения справедливость принципа максимума Миранды - Агмона. В работах [71], [72], [115] ими получены формулы для коэффициентов в асимптотике решений эллиптических краевых задач в конусе. Они выражаются через решения некоторых вспомогательных краевых задач для сопряженного уравнения. В работе [70] получены оценки и асимптотические формулы для функции Грина общих эллиптических краевых задач с коническими точками на границе. Эти же авторы в работе [69] впервые рассмотрели общие краевые задачи на многообразиях доовольно общей природы, подробные доказательства результатов этой работы изложены в статье [73]. Рассмотренный класс многообразий имеет многомерные особенности, например "ребра" различных размерностей и их всевозможные пересечения. Коэффициенты уравнений и граничных операторов могут иметь разрывы на некоторых многообразиях. В статьях [68], [69], [73] построена теория краевых задач для эллиптических по Дуглису-Ниренбергу систем уравнений на многообразиях такого рода.

Задача Дирихле для эллиптического уравнения вида

Lu = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}(x)u_{x_{i}x_{j}} + ∑_{j=1}^{n} a_{j}(x)u_{x_{j}} + a(x)u = f(x), (0.1)

коэффициенты которого - достаточно гладкие функции, с граничным условием Дирихле

u|_{∂Ω} = ϕ, (0.2) рассматривалась в работах О.А. Олейник [91] и Г. Тауца [118]. Основной результат этих работ состоит в том, что если a_{ij}(x) ∈ C^{3,λ}(Ω), a_{j}(x) ∈ C^{2,λ}(Ω), a(x) ∈ C^{1,λ}(Ω), то для регулярности по Винеру ^{⋆1)} граничной точки P для уравнения (0.1) необходимо и достаточно, чтобы точка была регулярной для уравнения Лапласа.

В последующие годы требования гладкости коэффициентов оператора L, обеспечивающие совпадение регулярности по Винеру точек уравнения (0.1) и уравнения Лапласа, были снижены. Например, в работе Р. Эрве [112] коэффициенты оператора L удовлетворяют условию Гёльдера, а в работе Н. В. Крылова [57] – условию Дини. В работе А.А. Новрузова [89] показано, что поточечное условие Дини не обеспечивает совпадение множества регулярных по Винеру точек для уравнения (0.1) и уравнения Лапласа. При некоторых предположениях относительно собственных значений матрицы a_{ij}(x) и ее элементов, допускающих разрывы коэффициентов уравнения (0.1), Е.М. Ландис указал достаточные условия регулярности граничной точки [60]. Необходимые и достаточные условия регулярности граничной точки для некоторых классов уравнений вида (0.1) получены И. Т. Мамедовым [75]. В

lim_{x→x^{0}} u_{ϕ}(x) = ϕ(x^{0}), x ∈ Ω.

u_{ϕ} = lim_{m→∞} u_{m}(x), x ∈ Ω,

⋆1)Точка x^{0} ∈ ∂Ω называется регулярной по Винеру для уравнения (0.1), если при любой непрерывной функции ϕ имеем Опишем один из способов построения, указанный, например, в работе [55], обобщенного по Винеру решения u_{ϕ} в области Ω задачи (0.1), (0.2). Пусть Ω_{m} – последовательность областей с бесконечно гладкими границами, которая аппроксимирует область Ω, причем Ω_{m} ⊂ Ω_{m+1} ⊂ Ω. Пусть Φ(x) – непрерывная в Ω̄ функция, совпадающая с ϕ на ∂Ω. Через u_{m}(x) обозначено решение уравнения (0.1)

в Ω_{m}, удовлетворяющее условию u_{m}|_{∂Ω} = Φ(x), которое по предположению существует. Обобщенным по Винеру решением задачи (0.1), (0.2) называется если такой предел существует и не зависит от выбора последовательности областей Ω_{m} и от способа построения функции Φ(x).

этот класс могут входить некоторые уравнения с разрывными коэффициентами.

Вопрос о регулярности по Винеру граничных точек для вырождающихся эллиптических уравнений, для уравнений с неотрицательной характеристической формой и нелинейных уравнений изучался во многих работах, например в [92], [90], [56], [117]. Впервые оценки модуля непрерывности решения уравнения (0.1) в регулярной по Винеру точке границы даны в работах В.Г. Мазьи [65], [66]. В работе А.А. Новрузова [88] оценки модуля непрерывности решения доказаны при условии, что коэффициенты уравнения (0.1)удовлетворяют условию Дини.

Вопрос о регулярности граничной точки рассматривался и для уравнения

Lu = ∑_{i,j=1}^{n}(a_{ij}(x)u_{x_{j}})_{x_{i}} + ∑_{j=1}^{n} a_{j}(x)u_{x_{j}} + a(x)u = f(x). (0.3)

В работе В. Г. Мазья [67] установлены оценки модуля непрерывности обобщенного решения (0.3), (0.2) в регулярной граничной точке.

Большое число работ посвящено исследованию поведения в окрестности границы области решения задачи Дирихле для уравнений (0.1),(0.3) в кусочно-гладких двумерных областях. В работах С.М. Никольского [84], [85] установлены необходимые и достаточные условия принадлежности пространству Никольского решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в областях с угловыми точками. Е.А. Волков [13], [14], [16] определил необходимые и достаточные условия принадлежности пространству C^{k,s} решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона Δu = f в случае, когда область Ω - прямоугольник или параллелепипед. Дифференциальные свойства решений краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона на многоугольниках установлены, например, в работе [15].

В связи с потребностями приложений продолжает расти интерес к сингулярным эллиптическим краевым задачам. Сингулярные краевые задачи для общих эллиптических уравнений были изучены многими авторами. Можно сослаться на работы С. М. Никольского [86], С. М. Никольского и П.И. Лизоркина [63], [64], И.А. Киприянова [48]. Одной из основных работ по этой тематике является монография С.А. Назарова, Б.А. Пламеневского [82], в которой дано подробное изложение теории эллиптических задач в областях с кусочно гладкой границей. Фундаментальные результаты в исследовании асимптотических свойств решений линейных и нелинейных эллиптических и параболических уравнений и систем получены В. А. Кондратьевым, Ю. В. Егоровым, О. А. Олейник, В.А Никишиным [25], [113], [52], [53], [54]. Отметим также работы А.М. Ильина, Е.Ф. Леликовой [31], [32]. Эллиптическим уравнения второго порядка посвящены работы В.А. Кондратьева [50], Д. Гилбарга, Н. Трудингера [19], А.К. Гущина, В.П. Михайлова [24], Ю.А. Алхутова и В.А. Кондратьева [3]. Различные результаты, полученные при изучении вырождающихся дифференциальных уравнений, содержатся в обзорной работе В.П. Глушко и Ю.Б. Савченко [21]. В работе В.П. Глушко [20] была установлена коэрцитивная разрешимость общих краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка в специальных весовых пространствах типа пространств Соболева. В случае сильного вырождения уравнение кроме ограниченных решений имеет и неограниченные (сингулярные) вблизи характеристической части границы решения. В этом случае в работах А. В. Бицадзе [7], [8] было предложено задавать на характеристической части не само решение или его производную, а их произведение с подобранной весовой функцией. Весовая краевая задача Коши для эллиптических уравнений изучалась Г.Н. Яковлевым [108], А.И Янушаускасом [119] и другими авторам.

В другой ситуации краевые задачи с сильным вырождением возникают в теории особых точек решений эллиптических уравнений. Исследованием таких задач посвящены работы А.А. Новрузова [89], И.А. Шишмарева [107], А.И. Ибрагимова [30]. Здесь, как правило, рассматривались вопросы, связанные с нахождением условий, обеспечивающих устранимость особенностей. Для уравнений математической физики соответствующие факты приведены в книге А.Н. Тихонова, А.А. Самарского [103]. Оригинальный подход исследования сингулярных эллиптических краевых задач, основанный на введении понятия R_{ν} – обобщенного решения, был развит в работах В.А. Рукавишникова (см. [94]-[99] и ссылки там). Эллиптические уравнения с малым параметром при старших производных изучены в работах А. М.Ильина, Т.Ю. Зыряновой, Б.И.Сулейманова [33], [34], [35].

Многие задачи физики и техники вызывают необходимость изучения краевых задач в областях с негладкой границей. К таким относятся области, которые имеют на границе угловые или конические точки, ребра и т. д. Теория эллиптических краевых задач в негладких областях изложена в работах В.А.Кондратьева [50], [51], В.Г Мазьи [114], М.В. Борсука [9]-[11], В. В. Фуфаева [104], В. В. Катрахова [39], В.В. Катрахова и С.В. Киселевской [44], [45]. Более подробный список ссылок на работы в данной области можно найти в книге [2].

Данная диссертация посвящена исследованию сингулярной эллиптической краевой задачи, рассматриваемой на плоскости Лобачевского. Решения эллиптических задач могут терять гладкость в особых точках. Это обстоятельство играет важную роль: возникают вопросы о поведении решений вблизи особых точек, о выборе специальных функциональных пространств, в которых порождённый краевой задачей оператор оказывается непрерывным. Поэтому постановка и изучение новых краевых задач для уравнений с сильным вырождением в соответствующих им функциональных пространствах, а также создание методов их решения являются актуальными.

Цель работы состоит в изучении сингулярной эллиптической краевой задачи в областях плоскости Лобачевского, которые могут содержать изолированные граничные точки. Основным результатом является доказательство однозначной разрешимости поставленной сингулярной краевой задачи в специально введенных функциональных пространствах.

Научная новизна. К настоящему времени построена теория общих и вырождающихся или сингулярных эллиптических краевых задач, в том числе и на областях многообразий общей природы. Однако в областях с выколотыми точками даже для простейших уравнений Лапласа (в евклидовом случае) и Лапласа-Бельтрами (для многообразий) значительных результатов до работы Катрахова и его учеников фактически не было по следующим двум причинам:

1) в полярных координатах рассматриваемое эллиптическое уравнение является сильно вырождающимся (сингулярным), поэтому для корректной постановки краевой задачи требуется введение нового нелокального по угловым переменным понятия следа, называемого сигма-следом;

2) отсутствовали функциональные пространства и операторы преобразования, служащие для теоретического анализа соответствующих сингулярных краевых задач.

В работе вводятся и изучаются новые функциональные пространства, которые вне особой точки совпадают с пространствами типа Соболева-Никольского-Бесова (см., например, работы С.Л Соболева [101], В.П. Михайлова [79], О.А. Ладыженской [58]). Также вводится понятие сигма-следа в особой точке. В работе [37] изучены сингулярные эллиптические краевые задачи в областях евклидовых пространств с изолированными граничными точками, в которых решение может иметь особенности, которые нельзя даже отнести к степенным, поскольку они структурно совпадают с изолированными особенностями аналитических или гармонических функций. В работах [43]- [45] аналогичные задачи рассмотрены в областях с угловыми точками и в областях на конусе. В представленной диссертации такие задачи рассматриваются в областях плоскости Лобачевского (пространстве с постоянной отрицательной кривизной).

Практическая значимость работы. Эллиптические краевые задачи для уравнения Пуассона относятся к классическим математическим моделям. Например, в электростатике особая точка моделирует точечный заряженный объект или в общем случае бесконечную комбинацию мультиполей различных порядков; в гидродинамике особые точки - это истоки или стоки различных порядков и их комбинации; в задачах упругости и пластичности механики сплошных сред - сосредоточенные нагрузки и т.д. [1].

Методы исследования. В данной работе используются современные методы исследования эллиптических краевых задач в соответствующих функциональных пространствах, которые вводятся и изучаются базовым методом операторов преобразования. Основы этого метода были заложены в работах Ж. Дельсарта, Ж.Л. Лионса, Б.М. Левитана. Последний дал название операторов Сонина и Пуассона известному классу операторов преобразования. Почти одновременно с первыми работами Ж. Дельсарта Х. Кобером и А. Эрдейи были введены другие операторы преобразования. История развития теории операторов преобразования достаточно полно изложена в работах С.Г. Самко, А.А. Килбаса, О.И. Маричева [100], А.А. Килбаса, С.А. Шлапакова [47]. Применение операторов Сонина и Пуассона в теории сингулярных гиперболических задач изучено Е.А. Ларионовым [61]. В работах В.В. Катрахова [36], [38], [37] введены новые операторы преобразования, которые использовались в теории сингулярных эллиптических уравнений, в теории псевдодифференциальных операторов, теории комплексных степеней сингулярных эллиптических операторов. В диссертации метод операторов преобразования получил дальнейшее развитие. Это связано с построением на их основе новых функциональных пространств типа пространств С.Л. Соболева. Ранее подобные конструкции операторов преобразования в евклидовом случае встречались в работах В.В. Катрахова и его учеников. В данной работе вводятся, изучаются и применяются операторы преобразования, построенные с применением гиперболических функций.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на:

1) систематически на семинаре кафедры математики и моделирования Владивостокского государственного университета экономики и сервиса под руководством д.э.н. доц. Л.С. Мазелиса;

2) Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В. Золотова (г. Владивосток, 2005, 2007);

3) "Понтрягинских чтениях-XVII", (г. Воронеж, 2006 г.).

4) VIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Интеллектуальный потенциал вузов - на развитие Дальневосточного региона России", (г. Владивосток, 2006 г.).

5) объединённом научном семинаре ИПМ ДВО РАН под руководством чл.-корр. РАН Н.В. Кузнецова, чл.-корр. РАН В.Н. Дубинина, чл.-корр. РАН М.А. Гузева (г. Владивосток, 2007, 2009).

Публикации

1)В.В. Катрахов, Е.Д. Емцева. Об одном классе операторов преобразования: Препринт �5. ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука ДВО РАН, 2005. 8с.

2)В.В. Катрахов, Е.Д. Емцева. Сингулярная краевая задача в областях пространства Лобачевского // Докл. РАН. 2007. Т. 412, � 6. С. 736-738.

3)В.В. Катрахов, Е.Д. Емцева. Об одном классе операторов преобразования // Дальневосточный математический журнал. 2007. Т.7, � 1-2. С. 62-78.

4)Е.Д. Емцева. Сингулярные функциональные пространства: Препринт �

03. ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука ДВО РАН, 2007. 35 с.

5)Е.Д. Емцева, В.В. Катрахов. Разрешимость сингулярной краевой задачи в областях плоскости Лобачевского // Сиб. жур.индустриальной математики. 2008. Т. XI, � 3(35). С. 71-85.

Объём и структура работы. Диссертация изложена на 113 страницах компьютерного текста (набранного в системе L^{A}TEX) и состоит из введения, трёх глав и списка литературы, включающего 119 наименований.

Содержание диссертации

Первая глава состоит из четырех разделов. В первом из них в пункте 1.1 изложены некоторые классические и новые результаты по теории операторов Лиувилля. Через C^{∘}∞_{{0}}(0, ∞) обозначено множество функций из C^{∞}(0, ∞), равных нулю в окрестности ∞, возможно, имеющих произвольную особенность в самой точке 0. Через C^{∘}^{∞}[ε, ∞), где ε ⩾ 0 обозначено множество функций, состоящее из бесконечно дифференцируемых на замкнутой полупрямой [ε, ∞) функций, имеющих на ней компактный носитель,а через C^{∘}_{+}^{∞}[0, R) - множество "четных" функций , состоящих из всех функций f ∈ C^{∘}^{∞}[0, R) таких, что D^{2k+1}f(0) = 0, k = 0, 1, 2, ....

На множестве C^{∘}∞_{{0}}(0, ∞) определён оператор Лиувилля I^{μ} по формулам

I^{μ}f(r) = \frac{1}{Γ(μ)} ∫_{r}^{∞}(ρ − r)^{μ−1}f(ρ) dρ, r > 0,

если Re(μ) > 0;

I^{μ}f(r) = (−D)^{m}I^{μ+m}f(r) = \frac{1}{Γ(m + μ)} (−D)^{m}∫_{r}^{∞}(ρ − r)^{m+μ−1}f(ρ) dρ, r > 0,

если Re(μ) < 0 и натуральное m таково, что m + Re(μ) > 0. Для введенных лиувиллевских операторов справедлива формула

I^{μ}(ρD)f(r) = (rD − μ)I^{μ}f(r). Лиувиллевский оператор по гиперболическим косинусам имеет вид:

J^{λ} = CI^{λ}A, λ ∈ ℂ, где C и A взаимнообратные вспомогательные операторы замены переменных:

C : f ↦ (Cf)(r) = f(ch(r) − 1), r ⩾ 0,

C^{−1} ≡ A : f ↦ (Af)(t) = f(arcch(t + 1)), t ⩾ 0.

Доказана лемма

Лемма 1.1.5. Оператор J^{μ}, μ ∈ ℂ, взаимнооднозначно отображает на себя множество C^{∘}∞_{{0}}(0, ∞). При этом обратным к оператору J^{μ} является оператор J^{−μ}, причем при натуральных m оператор J^{−m} является дифференциальным оператором вида

J^{−m}f(r) = (\frac{−d}{sh(r)dr})^{m} f(r) = (\frac{−d}{d ch(r)})^{m} f(r) = (\frac{−d}{d (ch(r) − 1)})^{m}f(r),

J^{0} – тождественный оператор. Кроме того они образуют коммутативную группу: J^{μ+λ} = J^{μ}J^{λ} = J^{λ}J^{μ}.

Во втором разделе первой главы изучаются свойства сингулярного дифференциального оператора B_{ν,μ}, введенного на интервале (0, ∞) = ℝ^{+} и названного оператором Лежандра-Гегенбауэра. Он имеет вид

B_{ν,μ} = sh^{−2ν}(r)D_{r}(sh^{2ν}(r)D_{r}) − \frac{μ(μ + 2ν − 1)}{sh^{2}(r)} =

= D_{r}^{2} + 2ν cth(r)D_{r} − \frac{μ(μ + 2ν − 1)}{sh^{2}(r)},

где ν, μ ∈ ℂ, D_{r} = \frac{d}{dr}. Отметим, что в приложении к основным уравнениям в пространстве Лобачевского размерности n параметр ν определяется формулой ν = (n−1)/2. В частности, ν = 1/2 для двумерного случая. В связи с этим в дальнейшем в общей теории операторов преобразования, если не оговорено противное, считаем, что ν > 0, а μ ⩾ 0. В алгебраических переменных оператор B_{ν,μ} можно представить в виде

B_{ν,μ}f(t) =C [(t^{2} + 2t)D_{t}^{2} + (2ν + 1)(t + 1)D_{t} − \frac{μ(μ + 2ν − 1)}{t^{2} + 2t}]Af(t).

Установлена связь между операторами B_{ν,μ} и S^{μ} ≡ sh^{μ} J^{−μ}, μ ∈ ℂ:

S^{μ}B_{ν,0}f = B_{ν,μ}S^{μ}f, f ∈ C^{∘}∞_{{0}}(0, ∞).

Введены операторы преобразования типа Сонина, обозначенные нами буквой S с различными верхними и нижними индексами, т.е. операторы вида

S_{ν,μ}^{ν+μ}f(r)=\frac{1}{Γ(ν + μ)} ∫_{r}^{∞}(ch(ρ) − ch(r))^{ν+μ−1} sh^{1−μ}(ρ)f(ρ)dρ,

где функция f ∈ C^{∘}∞_{{0}}(0, ∞), а также более общий оператор

S_{ν,μ}^{λ} = I^{−ν−μ+λ}S_{ν,μ}^{ν+μ}, и, наконец, оператор "нулевого" порядка

S_{ν,μ} = I^{−ν−μ}S_{ν,μ}^{ν+μ}. Доказаны следующие соотношения для оператора Лежандра-Гегенбауэра

при разных значениях индексов:

B_{ν,μ} = sh^{μ} [B_{ν+μ,0} + μ(μ + 2ν)] sh^{−μ},

B_{ν,μ} = sh^{1−μ−2ν} [B_{1−μ−ν,0} + (1 − μ)(1 − μ − 2ν)] sh^{2ν+μ−1} . Основными результатами этого раздела являются

1) формула S_{ν,μ}^{λ}B_{ν,μ}f = (D^{2} − ν^{2})S_{ν,μ}^{λ}f,

где f ∈ C^{∘}∞_{{0}}(0, ∞),

2) операторные формулы

th^{∓μ}(r/2) [D_{r}^{2}+ cth(r)D_{r}−\frac{μ^{2}}{sh^{2}(r)}] th^{±μ}(r/2) ≡

≡ th^{∓μ}(r/2)B_{\frac{1}{2},μ} th^{±μ}(r/2) = D_{r}^{2}+\frac{ch(r) ± 2μ}{sh(r)}D_{r} ≡ ℬ _{±μ},

3) формулы типа Дарбу-Ванштейна

th^{∓μ}(r/2) [D_{r}^{2}+ cth(r)D_{r}−\frac{μ^{2}}{sh^{2}(r)}] th^{±μ}(r/2)=Q_{±μ}^{−1}D_{r}Q_{±μ}D_{r},

где

Q_{±μ}(r) = sh(r) th^{±2μ}(r/2) = \frac{2 sh^{±2μ+1}(r/2)}{ch^{±2μ−1}(r/2)}.

В третьем разделе первой главы выводится оценка норм операторов преобразования в естественных функциональных пространствах. Рассмотрен связанный с оператором преобразования S_{ν,μ} вспомогательный оператор, действующий на множестве функций g ∈ C^{∘}^{∞}[0, 1) при λ ∈ ℕ по формуле

S_{λ}g(r) = \frac{(−1)^{λ}}{(λ − 1)!}D_{r}^{λ} ∫_{r}^{1}(ch ρ − ch r)^{λ−1}g(ρ) sh ρ dρ,

и при дробных λ > 0 по формуле

S_{λ}g(r) = \frac{(−1)^{[λ]}}{Γ(λ′)Γ(λ)}D_{r}^{[λ]} ∫_{r}^{1}(t − r)^{λ′−1} (∫_{t}^{1}(ch ρ − ch t)^{λ−1}g(ρ) sh ρdρ) dt =

= \frac{(−1)^{[λ]}}{Γ(λ′)Γ(λ)}D_{r}^{[λ]} ∫_{r}^{1} g(ρ) sh ρ (∫_{r}^{ρ}(t − r)^{λ′−1}(ch ρ − ch t)^{λ−1}dt) dρ,

где λ = [λ] − λ′, 0 < λ′ < 1, [λ] ∈ ℕ. В результате исследований, проводимых в данном разделе, доказана

Лемма 1.3.3. Для действительных значений λ оператор S_{λ} допускает расширение по непрерывности со множества C^{∘}^{∞}(0, 1) до ограниченного оператора, действующего из пространства L_{2,λ}(0, 1) в пространство

L_{2}(0, 1), причем имеет место оценка вида

∥S_{λ}f∥_{L_{2}(0,1)} ⩽ a^{λ}∥f∥_{L_{2,λ}(0,1)}, где a > 0 некоторая абсолютная постоянная.

Кроме того, получено следствие для оператора S_{ν,μ}.

Следствие 1.3.1 Оператор преобразования S_{ν,μ} допускает расширение по непрерывности со множества C^{∘}^{∞}(0, R) до ограниченного оператора, действующего из пространства L_{2,ν}(0, R) в пространство L_{2}(0, R), где 0 < R < 1, причем имеет место оценка вида

∥S_{ν,μ}f∥_{L_{2}(0,R)} ⩽ a^{ν+μ}∥f∥_{L_{2,ν}(0,R)}, где a > 0 некоторая абсолютная постоянная.

Здесь и ниже через L_{2,α}(0, R) обозначается весовое лебегово пространство с нормой

∥f∥_{L_{2,α}(0,R)}^{2} ≡ ∥ sh^{α} f∥_{L_{2}(0,R)}^{2} = ∫_{0}^{R} |f(r)|^{2} sh^{2α}(r)dr.

В четвертом разделе первой главы вводится оператор типа Пуассона, обратный к оператору преобразования типа Сонина S_{ν,μ}^{λ}:

P_{ν,μ}^{−λ} = sh^{μ} J^{−ν−μ}I^{ν+μ−λ} = P_{ν,μ}I^{−λ}. Доказаны следующие предельные соотношения для функций f ∈ C^{∘}^{∞}[0, ∞):

lim_{r→+0} th^{2ν+μ−1}(r/2)P_{ν,μ}f(r) = −\frac{Γ (ν + μ − \frac{1}{2})}{2^{ν}\sqrt{π}} I^{ν+μ−1}f(r)|_{r=+0}

при целом μ ⩾ 0, ν ⩾ \frac{1}{2}, ν + μ > \frac{1}{2}, и

lim_{r→+0} \frac{1}{ln \frac{1}{th(r/2)}} P_{\frac{1}{2},0}f(r) = −\sqrt{\frac{2}{π}} I^{−\frac{1}{2}}f(r)|_{r=+0}

при ν = \frac{1}{2}, μ = 0.

Во второй главе изучаются сингулярные функциональные пространства, содержащие функции с существенными особенностями.

Первый раздел носит вспомогательный характер, в нем рассматриваются функциональные пространства Соболева-Никольского-Бесова для функций одной и двух переменных. Обозначим через H^{∘}^{s}(ε, R), где целое s ⩾ 0, 0 ⩽ ε < R < ∞, обобщенное замыкание класса функций C^{∘}^{∞}[ε, R) в L_{2}(ε, R) по норме

∥f∥_{H^{∘}^{s}(ε,R)} = ∥D^{s}f∥_{L_{2}(ε,R)} = ∥I^{−s}f∥_{L_{2}(ε,R)}, (0.4)

где L_{2}(ε, R) - лебегово пространство с нормой

∥g(r)∥_{L_{2}(ε,R)}^{2} = ∫_{ε}^{R} |g(r)|^{2}dr.

Пространство H^{∘}^{s}(ε, R) представляет собой один из вариантов пространств Соболева-Никольского-Бесова.

Через H^{∘}_{loc}^{s}(0, R) обозначено обобщенное замыкание множества C^{∘}∞_{{0}}(0, R), состоящего из всех функций C^{∞}(0, R), равных нулю в левой полуокрестности (своей для каждой функции) точки R, по топологии, порожденной системой полунорм для любых 0 < ε < R

p_{ε,s}(f) = ∥D^{s}f∥_{L_{2}(ε,∞)} = ∥f∥_{H^{∘}^{s}(ε,R)}.

Пространство H^{∘}_{loc}^{s}(0, R) является пространством Фреше (полным счетнонормируемым пространством).

Считаем Ω ограниченной областью в пространстве ℍ^{2} с гладкой границей ∂Ω. Начало геодезической полярной системы координат помещаем в одну из точек Ω, в которой решение рассматриваемой далее задачи имеет сингулярность. Через Ω_{O} обозначена область Ω \ {O}, через U_{2R_{0}} – открытый геодезический круг радиуса 2R_{0} ⩽ 1, такой, что справедливо включение \overline{U}_{2R_{0}} ⊂ Ω, где \overline{U}_{2R_{0}} – замыкание U_{2R_{0}}.

Функциональное пространство Соболева-Никольского-Бесова H^{s}(Ω) при четном s ⩾ 0 определяем как обобщенное замыкание в лебеговом пространстве L_{2}(Ω) множества C^{∞}(\overline{Ω}) бесконечно дифференцируемых в области \overline{Ω} функций, по норме

∥f∥_{H^{s}(Ω)}^{2} = ∥f∥_{L_{2}(Ω)}^{2} + ∥Δ^{\frac{s}{2}}f∥_{L_{2}(Ω)}^{2}, (0.5) где

∥f∥_{L_{2}(Ω)}^{2} = ∫_{Ω} |f|^{2}dΩ,

оператор Δ = Δ_{ℍ} в геодезических полярных координатах r > 0, 0 ⩽ φ ⩽ 2π имеет вид

Δ = Δ_{ℍ} = \frac{∂^{2}}{∂r^{2}} + cth(r)\frac{∂}{∂r} + \frac{1}{sh^{2}(r)} \frac{∂^{2}}{∂φ^{2}}.

Пространство H^{∘}^{s}(Ω) определяется как замыкание в H^{s}(Ω) множества C^{∘}^{∞}(Ω) ⊂ H^{s}(Ω). В пространстве H^{∘}^{s}(Ω) используем норму

∥f∥_{H^{∘}^{s}(Ω)}^{2} = ∥Δ^{\frac{s}{2}}f∥_{L_{2}(Ω)}^{2},

которую для Ω = U_{R}, 0 < R < ∞, можно определить через разложение функций по угловым гармоникам:

∥f∥_{H^{∘}^{s}(U_{R})}^{2} = ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} ∥B\frac{1}{2},k^{\frac{s}{2}}f_{k}^{l}∥_{L_{2, \frac{1}{2}} (0,R)}^{2} .

Здесь

f(r, φ) = ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} f_{k}^{l}(r)Y_{k}^{l}(φ), f_{k}^{l}(r) = ∫_{0}^{2π}f(r, φ′)Y_{k}^{l}(φ′) dφ′.

Во втором разделе этой главы изучаются сингулярные функциональные пространства функций одной переменной. Через C^{∘}_{ν,μ}^{∞}(0, R) обозначено множество функций f, допускающих представление f = P_{ν,μ}g, в котором g ∈ C^{∘}^{∞}[0, R), т.е. C^{∘}_{ν,μ}^{∞}(0, R) = P_{ν,μ}C^{∘}^{∞}[0, R), а через C^{∘}_{μ,+}^{∞}(0, R) – множество функций вида sh^{μ}(r)f(r), где f ∈ C^{∘}_{+}^{∞}[0, R). Пространство H^{∘}_{ν,μ}^{s}(0, R) для целых s⩾0 определяется как обобщённое замыкание множества C^{∘} _{ν,μ}^{∞}(0, R) в H^{∘}_{loc}^{s}(0, R) по норме

∥f∥_{H_{ν,μ}^{s}^{∘}(0,R)} = \frac{1}{s_{ν,μ}}∥D^{s}(S_{ν,μ}f)∥_{L_{2}(0,R)},

где

s_{ν,μ} = sup_{0≠f∈L_{2,ν}(0,R)} \frac{∥S_{ν,μ}f∥_{L_{2}(0,R)}}{∥f∥_{L_{2,ν}(0,R)}} = sup_{0≠f∈C^{∘}_{μ,+}^{∞}(0,R)} \frac{∥S_{ν,μ}f∥_{L_{2}(0,R)}}{∥f∥_{L_{2,ν}(0,R)}}.

При четных значениях s через H^{∘}_{ν,μ,+}^{s}(0, R) обозначено обобщенное замыкание в H^{∘}_{loc}^{s}(0, R) множества функций f ∈ C^{∘}_{μ,+}^{∞}(0, R) по норме

∥f∥_{H^{∘}_{ν,μ,+}^{s}(0,R)}^{2} = ∥(B_{ν,μ})^{\frac{s}{2}}f∥_{L_{2,ν}(0,R)}^{2} = ∫_{0}^{R} |Bν,μ^{\frac{s}{2}}f(r)|^{2} sh^{2ν}(r) dr.

Сингулярные решения краевой задачи лежат в пространстве H^{∘}_{ν,μ}^{s}(0, R), а регулярные решения – в H^{∘}_{ν,μ,+}^{s}(0, R). Доказано, что имеет место непрерывное включение

H^{∘}_{ν,μ,+}^{s}(0, R) ⊂ H^{∘}_{ν,μ}^{s}(0, R)

и справедлива оценка

∥f∥_{H^{∘}_{ν,μ}^{s}(0,R)} ⩽ ∥f∥_{H^{∘}_{ν,μ,+}^{s}(0,R)}.

Далее определяется весовой σ_{ν,μ}– след функции f(r) при ν ⩾ \frac{1}{2}, μ ⩾ 0 в точке r = 0 как предел

σ_{ν,μ}f|_{r=0} = lim_{r→+0} σ_{ν,μ}(r)f(r),

где

σ_{ν,μ}(r) = \{ \begin{matrix}th^{2ν+μ−1}(r/2), & если ν + μ > \frac{1}{2}, \\ \frac{1}{ln(1/ th(r/2))}, & если ν = \frac{1}{2}, μ = 0. \end{matrix}

Справедлива следующая теорема о σ_{ν,μ}– следе.

Теорема 2.2.3. Пусть 2ν ∈ ℕ, μ ∈ ℕ_{0} = ℕ ∪ {0}, s ⩾ 2, R ∈ (0, 1). Тогда 1) для любой функции f ∈ H^{∘}_{ν,μ}^{s}(0, R) существует σ_{ν,μ}–след в точке r = 0

и справедлива оценка

|σ_{ν,μ}f|_{r=0}| ⩽ C_{s,ν,R}(aR)^{μ}∥f∥_{H^{∘}_{ν,μ}^{s}(0,R)}, (0.6)

где a > 0 - абсолютная постоянная, C_{s,ν,R} > 0 - постоянная, зависящая только от s, ν, R;

2) для любой функции f ∈ H^{∘}_{ν,μ,+}^{s}(0, R) σ_{ν,μ}–след в точке r = 0 существует и равен нулю.

Результаты третьего раздела второй главы используются в четвертом разделе и в теории краевых задач, изучаемых в третьей главе.

Для удобства вводятся сокращенные обозначения для уже определенных функциональных пространств, дифференциальных операторов, операторов преобразования, весовой функции и константы

\begin{matrix}H^{∘}_{1/2,μ}^{s}(0, R) ≡ H^{∘}_{μ}^{s}(0, R), C^{∘}_{1/2,μ}^{∞}(0, R)≡C^{∘}_{μ}^{∞}(0, R), & H^{∘}_{1/2,μ,+}^{s}(0, R)≡H^{∘}_{μ,+}^{s}(0, R), \\ B_{\frac{1}{2},μ} ≡ B_{μ} = D^{2} + cth(r)D − \frac{μ^{2}}{sh^{2}(r)}, & S_{\frac{1}{2},μ}^{\frac{1}{2}+μ} ≡ S_{μ}^{\frac{1}{2}+μ}, S_{\frac{1}{2},μ} ≡ S_{μ}, \\ s_{\frac{1}{2},μ} ≡s_{μ}, c_{s,\frac{1}{2}} ≡ c_{s}, σ_{\frac{1}{2},μ} ≡ σ_{μ}, & P_{\frac{1}{2},μ}^{\frac{1}{2}+μ} ≡ P_{μ}^{\frac{1}{2}+μ}, P_{\frac{1}{2},μ} ≡ P_{μ}. \end{matrix}

В третьем разделе второй главы доказаны следующие леммы.

Лемма 2.3.1. При μ ∈ ℂ базис линейного пространства решений однородного дифференциального уравнения B_{μ}u(r) = 0 составляют две функции: в случае μ ≠ 0 – функции th^{±μ}(r/2), а в случае μ = 0 – функции 1 и ln \frac{1}{th(r/2)}.

Лемма 2.3.2. Пусть функция f достаточно гладкая в некотором геодезическом круге U_{R} \ {O} радиуса R > 0 с выколотым центром, например, принадлежит классу C^{∞}(U_{R} \ {O}). Тогда ее лапласиан Δ_{ℍ}f определяется формулой

Δ_{ℍ}f(r, φ) = ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}}(B_{k}f_{k}^{l})(r)Y_{k}^{l}(φ). (0.7)

Здесь коэффициенты Фурье разложения функции f

f_{k}^{l}(r) = ∫_{0}^{2π}f(r, φ)Y_{k}^{l}(φ) dφ,

по угловым гармоникам

Y_{k}^{l}(φ) = \begin{cases}\frac{1}{\sqrt{π}} cos(kφ), & если l = 1, k > 0, \\ \frac{1}{\sqrt{π}} sin(kφ), & если l = 2, k > 0, \\ \frac{1}{\sqrt{2π}}, & если k = 0, \end{cases}

а числа d_{k} определяются соотношениями

d_{k} = \begin{cases}1, & если k = 0, \\ 2, & если k > 0. \end{cases}

Этот ряд сходится абсолютно и равномерно вместе со всеми производными на любом компакте из U_{R} \ {O}.

Основным результатом этого раздела являетяся

Теорема 2.3.2. Любая гармоническая в геодезическом круге U_{R} \ {O} радиуса R > 0 с выколотым центром функция u(r, φ) разлагается на два гармонических слагаемых u = v+w, при этом "регулярная" (гармоническая во всем круге U_{R} ) функция имеет вид

v(r, φ) = ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} a_{k}^{l} th^{k}(r/2)Y_{k}^{l}(φ), (0.8)

где числовая последовательность {a_{k}^{l}} такова, что ряд (0.8) сходится абсолютно и равномерно вместе со всеми производными на любом компакте из U_{R}, а в остальном – произвольная, а "сингулярная" (гармоническая в U_{R} \ {O}) функция определяется формулой

w(r, φ) = b_{0}^{1} ln \frac{1}{th(r/2)} + ∑_{k=1}^{∞} ∑_{l=1}^{2} b_{k}^{l} th^{−k}(r/2)Y_{k}^{l}(φ), (0.9)

где числовая последовательность {b_{k}^{l}} такова, что ряд (0.9) сходится абсолютно и равномерно вместе со всеми производными на любом компакте из U_{R} \ {O}, а в остальном – произвольная.

В четвертом разделе второй главы изучаются сингулярные функциональные пространства для функций двух переменных. На множестве C^{∘}_{+}^{∞}[0; ∞) определена вспомогательная функция χ_{R}(r) = χ(\frac{r}{R}), где

χ(r) = \begin{cases}1, & если 0 ⩽ r ⩽ 1, \\ 0, & если r ⩾ 2. \end{cases}

Через T^{∘}^{∞}(Ω_{O}) обозначено множество функций f ∈ C^{∞}(\overline{Ω} \ \{O\}), таких что

χ_{R}f(r, φ) = ∑_{k=0}^{𝒦 (f)} ∑_{l=1}^{d_{k}} χ_{R}(r)f_{k}^{l}(r)Y_{k}^{l}(φ).

Здесь функции f_{k}^{l} таковы, что (sh r)^{k}f_{k}^{l}(r)χ_{R}(r) ∈ C^{∘}^{∞}[0, 2R_{0}). Натуральное число 𝒦 = 𝒦 (f) свое для каждой функции f. Для каждого четного s ⩾ 0, каждого вещественного 0 < R < R_{0} и каждой функции χ ∈ X на T^{∘}^{∞}(Ω_{O}) заданы следующие нормы

∥f∥_{s,R} = ( ∑_{k=0}^{𝒦 (f)} ∑_{l=1}^{d_{k}} ∥χ_{R}(r)f_{k}^{l}∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,2R)}^{2} + ∥(1 − χ_{R})f∥_{H^{s}(Ω)}^{2})^{\frac{1}{2}} . (0.10)

Пространство H_{loc}^{s}(Ω_{O}), состоит из функций f таких, что при любом R ∈ (0, R_{0}) справедливо вложение (1 − χ_{R})f ∈ H^{s}(Ω).

Топология, определяемая семейством полунорм

p_{s,R}(f) = ∥(1 − χ_{R})f∥_{H^{s}(Ω)}, 0 < R < R_{0}, превращает H_{loc}^{s}(Ω_{O}) в полное топологическое векторное пространство.

Основное в работе пространство M^{s}(Ω_{O}) определено как обобщенное замыкание по топологии, порожденной системой норм (0.10), пространства T^{∘}^{∞}(Ω_{O}). Для введенных пространств доказана

Теорема 2.4.1. Для любого s ⩾ 0 имеет место вложение

H^{s}(Ω) ⊂ M^{s}(Ω_{0}) ⊂ H_{loc}^{s}(Ω_{0}). Через A(Θ) обозначено множество определенных на единичной окружности Θ функций ψ(φ), которые вещественно-аналитичны на Θ и для которых при каждом h ∈ (0, 1) конечны следующие нормы

∥ψ∥_{h} = (∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} |ψ_{k}^{l}|^{2}h^{−2k})^{\frac{1}{2}} . (0.11)

Здесь через ψ_{k}^{l} обозначены коэффициенты разложения функции ψ по гармоникам Y_{k}^{l}. Пространство A(Θ) является полным счетно-нормируемым топологическим пространством.

Далее определяется σ-след функции f ∈ T^{∘}^{∞}(Ω_{O}) с помощью формулы

σf|_{O} = lim_{r→+0} ∫_{−π}^{π} Σ(r, φ)f(r, φ′)dφ′,

где ядро Σ соответствующего интегрального оператора имеет вид

Σ(r, φ) = \frac{1}{2π} (\frac{2τ(r) cos(φ − φ′) − 2τ^{2}(r)}{1 − 2τ(r) cos(φ − φ′) + τ^{2}(r)} + \frac{\sqrt{2π}}{ln(1/τ(r))}) .

Затем понятие σ-следа распространяется на функции f ∈ M^{s}(Ω_{O}) следующим образом. Последовательность f^{j} ∈ T^{∘}^{∞}(Ω_{O}), j = 1, 2, ..., сходится к некоторой функции f при j → ∞ по топологии пространства f ∈ M^{s}(Ω_{O}).

Если последовательность ψ^{j} = σf^{j}|_{O} сходится при j → ∞ к функции ψ ∈ A(Θ) по топологии пространства A(Θ), причем функция ψ не зависит от выбора последовательности f^{j}, то она и называется σ-следом функции f.

Доказаны прямая и обратная теоремы о σ – следах, которые являются основными результатами второй главы.

Теорема 2.4.4 [Прямая теорема о σ-следах] Пусть s ⩾ 2. Тогда для каждой функции f ∈ M^{s}(Ω_{O}) существует σ-след σf|_{O} ∈ A(Θ). При этом оператор f → σf|_{O} непрерывно отображает пространство M^{s}(Ω_{O}) в A(Θ).

Теорема 2.4.5 [Обратная теорема о σ-следах] Для любой функции ψ ∈ A(Θ) существует функция f, гармоническая на всей плоскости ℍ^{2} \ {O} с выколотой точкой O и принадлежащая пространствам M^{s}(Ω_{O}) при любых s ⩾ 0, для которой ψ является ее σ-следом. При этом для любого R ∈ (0, R_{0}) существует число h ∈ (0, 1) такое, что имеет место неравенство

∥f∥_{s,R} ⩽ c∥ψ∥_{h} (0.12) с постоянной c > 0, не зависящей от выбора функции ψ.

В третьей главе изучается краевая задача

\begin{cases}Δu = f(x), & x ∈ Ω_{O} \\ u|_{∂Ω}= g(x), & x ∈ ∂Ω, \\ σu|_{O}= ψ(φ), & φ ∈ Θ. \end{cases}  (0.13)

Поставленная краевая задача порождает оператор следующего вида Λ : u → Λu = (Δu, u|_{∂Ω}, σu|_{O}) . Определяется пространство ℳ ^{s} = M^{s}(Ω_{O})×H^{s+\frac{3}{2}}(∂Ω)×A(Θ) с топологией

прямого произведения. Из результатов предыдущей главы непосредственно следует

Теорема 3.1.1. Оператор Λ непрерывно отображает пространство M^{s+2}(Ω_{O}) в ℳ ^{s} при любых s ⩾ 0.

Во втором разделе третьей главы доказана прямая и обратная теорема о σ–следах для гармонических функций.

Теорема 3.2.1. Для гармонической в Ω_{O} функции u существует σслед в точке O, который принадлежит пространству A(Θ). Обратно, для любой функции ψ ∈ A(Θ) существует единственная (с точностью до гармонической в окрестности O функции) гармоническая в Ω_{O} функция u, для которой σu|_{O} = ψ.

В терминах σ-следа дана классификация изолированных особых точек гармонических функций: O–устранимая особая точка, если σu|_{O} = 0; O– особая точка типа полюса, если в разложении функции ψ = σu|_{O} в ряд по угловым гармоникам содержится конечное число слагаемых; в противном случае u имеет особенность типа существенной особой точки. Основным результатом второго раздела третьей главы является теорема единственности решения краевой задачи.

Теорема 3.2.2. [Теорема единственности] Пусть f ∈ M^{s}(Ω_{O}), g ∈ H^{s+\frac{3}{2}}(∂Ω), ψ ∈ A(Θ) и s ⩾ 0. Тогда у краевой задачи (0.13) существует не более одного решения в пространстве M^{s+2}(Ω_{O}).

В третьем разделе проводится доказательство теоремы, которая вместе с теоремами 3.1.1.и 3.2.2 является основным результатом всей диссертации.

Теорема 3.1.2. Оператор Λ имеет обратный оператор Λ^{−1}, непрерывно отображающий пространство ℳ ^{s} на пространство M^{s+2}(Ω_{O}) при любых четных s ⩾ 0.

Автор выражает сердечную благодарность своим научным руководителям профессору В.В. Катрахову за постановку задачи и постоянное внимание к работе, профессору Г.В. Алексееву за полезные обсуждения результатов, ценные советы и замечания.

Глава 1.

Операторы преобразования

1.1. Операторы дробного порядка типа Лиувилля

В этом разделе для удобства ссылок приведем некоторые классические результаты по теории операторов Лиувилля, а также некоторые новые сведения, необходимые для дальнейших исследований.

1.1.1. Операторы дробного порядка Лиувилля

Обозначим через C^{∘}∞_{{0}}(0, ∞) множество функций из C^{∞}(0, ∞), равных нулю в окрестности ∞. Отметим, что в самой точке 0 функции из этого множества могут иметь произвольную особенность.

На множестве C^{∘}∞_{{0}}(0, ∞) определим лиувиллевский оператор I^{μ} по формулам:

I^{μ}f(r) = \frac{1}{Γ(μ)} ∫_{r}^{∞}(ρ − r)^{μ−1}f(ρ) dρ, r > 0,

если Re(μ) > 0;

I^{μ}f(r) = (−D)^{m}I^{μ+m}f(r) = \frac{1}{Γ(m + μ)} (−D)^{m}∫_{r}^{∞}(ρ − r)^{m+μ−1}f(ρ) dρ, r > 0,

если Re(μ) < 0 и натуральное m таково, что m + Re(μ) > 0. Очевидно, что это определение не зависит от выбора m, удовлетворяющего последнему неравенству.

Следующее утверждение вытекает из хорошо известных свойств лиувиллевских операторов.

Лемма 1.1.1. Введенные операторы взаимнооднозначно отображают множество C^{∘}∞_{{0}}(0, ∞) на себя, при этом обратным к оператору I^{μ} является оператор I^{−μ}, причем при натуральных m I^{−m} = (−D)^{m} и I^{0} – тождественный оператор. Кроме того они образуют коммутативную группу:

I^{μ+λ} = I^{μ}I^{λ} = I^{λ}I^{μ}.

Заметим, что при f ∈ C^{∘}∞_{{0}}(0, ∞) функция I^{μ}f(r) (при фиксированном r) параметра μ является целой, то есть аналитической на всей комплексной плоскости ℂ. Это обстоятельство позволит в дальнейшем методом аналитического продолжения по указанному параметру значительно сократить выкладки.

На гладких вплоть до нуля функциях из множества f ∈ C^{∘}^{∞}[0, ∞), состоящего из бесконечно дифференцируемых на замкнутой полупрямой [0, ∞) функций, имеющих на ней компактный носитель cледующие свойства лиувиллевских операторов являются классическими.

Лемма 1.1.2. Введенные операторы взаимнооднозначно отображают множество C^{∘}^{∞}[0, ∞) на себя, при этом обратным к оператору I^{μ} является оператор I^{−μ}, причем при натуральных m I^{−m} = (−D)^{m} и I^{0} – тождественный оператор. Кроме того они образуют коммутативную группу:

I^{μ+λ} = I^{μ}I^{λ} = I^{λ}I^{μ}.

В дальнейшем нам потребуются следующая

Лемма 1.1.3. [Аналог правила Лейбница] Для функций f ∈ C^{∘}∞_{{0}}(0, ∞) (в частности и для f ∈ C^{∘}^{∞}[0, ∞)) и любых комплексных μ справедлива сплетающая формула I^{μ}(ρD)f(r) = (rD − μ)I^{μ}f(r). (1.1.1) Д о к а з а т е л ь с т в о этой формулы проведем для вещественных μ >

0, тогда методом аналитического продолжения по μ ее справедливость устанавливается и для любых комплексных μ. Имеем

I^{μ}(ρD)f(r) = \frac{1}{Γ(μ)} ∫_{r}^{∞}(r − ρ)^{μ−1}ρD_{ρ}f(ρ)dρ =

= \frac{r}{Γ(μ)} ∫_{r}^{∞}(r − ρ)^{μ−1}D_{ρ}f(ρ)dρ − \frac{1}{Γ(μ)} ∫_{r}^{∞}(r − ρ)^{μ}D_{ρ}f(ρ)dρ =

(так операторы дифференцирования и лиувиллевские коммутируют)

= \frac{r}{Γ(μ)} D_{r}∫_{r}^{∞}(r − ρ)^{μ−1}f(ρ)dρ − \frac{1}{Γ(μ)} ∫_{r}^{∞}(r − ρ)^{μ}D_{ρ}f(ρ)dρ =

= rD_{r}I^{μ}f(r) − \frac{1}{Γ(μ)} ∫_{r}^{∞}(r − ρ)^{μ}D_{ρ}f(ρ)dρ =

(после интегрирования по частям в последнем интеграле)

= rD_{r}I^{μ}f(r) − \frac{μ}{Γ(μ)} ∫_{r}^{∞}(r − ρ)^{μ−1}f(ρ)dρ =

= rD_{r}I^{μ}f(r) − μI^{μ}f(r)

и лемма доказана.

Замечание. Полученная формула может служить основанием для введения и изучения операторов преобразования для классических операторов Бесселя, например, операторов преобразования Кобера-Эрдейи, Пуассона-Сонина и других.

1.1.2. Операторы дробного порядка по гиперболическим косинусам типа Лиувилля

Введем обозначения для несколько измененных гиперболических функций

\overline{ch}(r) = ch(r) − 1, \overline{arcch}(t) = arcch(t + 1) и вспомогательный оператор C замены переменных:

C : f ↦ (Cf)(r) = f(\overline{ch}(r)), r ⩾ 0, (1.1.2) а также обратный к нему

C^{−1} ≡ A : f ↦ (Af)(t) = f(\overline{arcch}(t)), t ⩾ 1. (1.1.3) Очевидно,

A (C^{∘}∞_{{0}}(0, ∞)) = C^{∘}∞_{{0}}(0, ∞), C (C^{∘}∞_{{0}}(0, ∞)) = C^{∘}∞_{{0}}(0, ∞).

Введем множество "четных" функций C^{∘}_{+}^{∞}[0, R), состоящих из всех функций f ∈ C^{∘}^{∞}[0, R) таких, что D^{2k+1}f(0) = 0, k = 0, 1, 2, ....^{⋆1)}

Пусть J^{λ} – лиувиллевский оператор по гиперболическим косинусам: J^{λ} = CI^{λ}A, λ ∈ ℂ. (1.1.4) Справедлива Лемма 1.1.4. Введенные операторы J^{μ}, μ ∈ ℂ, взаимнооднозначно

отображают множество C^{∘}_{+}^{∞}[0, ∞) на себя, при этом обратным к оператору J^{μ} является оператор J^{−μ}, причем при натуральных m оператор J^{−m} является дифференциальным оператором вида

J^{−m}f(r) = (\frac{−d}{sh(r)dr})^{m} f(r) = (\frac{−d}{d ch(r)})^{m} f(r) = (\frac{−d}{d \overline{ch}(r)})^{m}f(r),

J^{0} – тождественный оператор. Кроме того, они образуют коммутативную группу: J^{μ+λ} = J^{μ}J^{λ} = J^{λ}J^{μ}.

⋆1)Легко также показать, что множество C^{∘}_{+}^{∞}[0, R) состоит из тех и только из тех функций f(r), для которых функция f(\sqrt{r}) принадлежит множеству C^{∘}^{∞}[0, \sqrt{R}).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно показать, что J^{μ}C^{∘}_{+}^{∞}[0, ∞) = C^{∘}_{+}^{∞}[0, ∞), остальное легко следует, например, из леммы 1.1.2. В самом деле, имеет место следующая цепочка отображений

C^{∘}_{+}^{∞}[0, ∞) ⟶^{A} C^{∘}^{∞}[0, ∞) ⟶^{I^{μ}} C^{∘}^{∞}[0, ∞) ⟶^{C} C^{∘}_{+}^{∞}[0, ∞),

причем все эти отображения биективны. Лемма доказана.

По той же формуле (1.1.4) операторы J^{μ} определяются и на "сингулярном" пространстве C^{∘}∞_{{0}}(0, ∞). Справедлива полностью аналогичная лемме 1.1.4

Лемма 1.1.5. Введенные операторы J^{μ}, μ ∈ ℂ, взаимнооднозначно отображают множество C^{∘}∞_{{0}}(0, ∞) на себя, при этом обратным к оператору J^{μ} является оператор J^{−μ}, причем при натуральных m оператор J^{−m} является дифференциальным оператором вида

J^{−m}f(r) = (\frac{−d}{sh(r)dr})^{m} f(r) = (\frac{−d}{d ch(r)})^{m} f(r) = (\frac{−d}{d \overline{ch}(r)})^{m}f(r),

J^{0} – тождественный оператор. Кроме того они образуют коммутативную группу: J^{μ+λ} = J^{μ}J^{λ} = J^{λ}J^{μ}.

Введем еще один оператор

S^{μ} = sh^{μ} CI^{−μ}A ≡ sh^{μ} J^{−μ}, μ ∈ ℂ. (1.1.5) Здесь и всюду ниже через sh^{μ} обозначается оператор умножения на

функцию sh^{μ}(r).

При m ∈ ℕ оператор S^{m} можно представить в виде

S^{m}f(r)= sh^{m}(r) (\frac{−d}{sh(r)dr})^{m} f(r)= sh^{m}(r) (\frac{−d}{d \overline{ch}(r)})^{m} f(r), (1.1.6)

что следует из леммы 1.1.5.

1.2. Общая теория операторов преобразования

Рассмотрим на интервале (0, ∞) = ℝ^{+} сингулярный дифференциальный оператор

B_{ν,μ} = sh^{−2ν}(r)D_{r}(sh^{2ν}(r)D_{r}) − \frac{μ(μ + 2ν − 1)}{sh^{2}(r)} =

= D_{r}^{2} + 2ν cth(r)D_{r} − \frac{μ(μ + 2ν − 1)}{sh^{2}(r)},

где ν, μ ∈ ℂ, D_{r} = \frac{d}{dr}. Отметим, что в приложении к уравнениям на гиперболическом пространстве параметр ν = \frac{n−1}{2} отвечает за размерность n этого пространства и, значит, фиксирован. В связи с этим в дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем считать, что ν > 0, μ ⩾ 0, и нас в первую очередь будет интересовать зависимость наших конструкций от изменения параметра μ. Оператор B_{ν,μ} естественно назвать оператором Лежандра-Гегенбауэра, поскольку он встречается в теории функций Лежандра (при ν = \frac{1}{2}) и в теории функций Гегенбауэра (при μ = 0). Буква B для его обозначения выбрана в честь Бесселя, оператор которого является аналогом оператора Лежандра-Гегенбауэра в случае евклидовых пространств.

Лемма 1.2.1. [Оператор B_{ν,μ} в "алгебраических" переменных] Имеет место представление

AB_{ν,μ}Cf(t)=[(t^{2} + 2t)D_{t}^{2} + (2ν + 1)(t + 1)D_{t} − \frac{μ(μ + 2ν − 1)}{t^{2} + 2t}]f(t). (1.2.7)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно,

AB_{ν,μ}Cf(t) = AB_{ν,μ}f(\overline{ch}(t)) =

= A [sh^{2}(t)D_{\overline{ch}(t)}^{2} + ch(t)D_{\overline{ch}(t)} + 2ν cth(t) sh(t)D_{\overline{ch}(t)}−

−\frac{μ(μ + 2ν − 1)}{sh^{2}(t)}] f(\overline{ch}(t)) =

= [(t^{2} + 2t)D_{t}^{2} + (2ν + 1)(t + 1)D_{t} − \frac{μ(μ + 2ν − 1)}{t^{2} + 2t}] f(t).

Лемма 1.2.2. Справедлива формула I^{−μ} [(t^{2} + 2t)D^{2} + (2ν + 1)(t + 1)D] = (1.2.8) = [(t^{2} + 2t)D^{2} + (2ν + 2μ + 1)(t + 1)D + μ(μ + 2ν)] I^{−μ}. Д о к а з а т е л ь с т в о. Применим аналог правила Лейбница и равенство

t^{2}D^{2} = (tD)^{2} − tD. Будем иметь I^{−μ}[(t^{2} + 2t)D^{2} + (2ν + 1)(t + 1)D] = = I^{−μ}[t^{2}D^{2} + 2tD^{2} + (2ν + 1)tD + (2ν + 1)D] = = I^{−μ} [(tD)^{2} − tD + 2tD^{2} + (2ν + 1)tD + (2ν + 1)D] = = I^{−μ} [(tD)^{2} + 2tD^{2} + 2νtD + (2ν + 1)D] = = I^{−μ}(tD)(tD) + 2I^{−μ}(tD)D + 2νI^{−μ}(tD) + (2ν + 1)I^{−μ}D = = (tD + μ)I^{−μ}(tD) + 2(tD + μ)I^{−μ}D + 2ν(tD + μ)I^{−μ} + (2ν + 1)I^{−μ}D = = (tD + μ)^{2}I^{−μ} + 2(tD + μ)DI^{−μ} + 2ν(tD + μ)I^{−μ} + (2ν + 1)DI^{−μ} = = [t^{2}D^{2} + tD + 2μtD + μ^{2} + 2tD^{2} + 2μD + 2νtD + 2νμ + 2νD + D]I^{−μ} = = [(t^{2} + 2t)D^{2} + (2ν + 2μ + 1)(t + 1)D + μ(μ + 2ν)]I^{−μ}.

Лемма 1.2.3. Справедлива операторная формула (t^{2} + 2t)^{\frac{μ}{2}} [(t^{2} + 2t)D^{2} + (2ν + 2μ + 1)(t + 1)D + μ(μ + 2ν)] =

= [(t^{2} + 2t)D^{2} + (2ν + 1)(t + 1)D − \frac{μ(μ + 2ν − 1)}{t^{2} + 2t}] (t^{2} + 2t)^{\frac{μ}{2}}.

Д о к а з а т е л ь с т в о: Имеем (t^{2} + 2t)^{\frac{μ}{2}} [(t^{2} + 2t)D^{2} + (2ν + 2μ + 1)(t + 1)D + μ(μ + 2ν)] × ×(t^{2} + 2t)^{−\frac{μ}{2}}(t^{2} + 2t)^{\frac{μ}{2}} = (t^{2} + 2t)^{\frac{μ}{2}}[(t^{2} + 2t)D(−μ(t + 1)(t^{2} + 2t)^{−\frac{μ}{2}−1}+ +(t^{2}+2t)^{−\frac{μ}{2}}D)+(2ν +2μ+1)(t+1) (−μ(t+1)(t^{2}+2t)^{−\frac{μ}{2}−1}+(t^{2}+2t)^{−\frac{μ}{2}}D) +

+μ(μ + 2ν)(t^{2} + 2t)^{−\frac{μ}{2}}](t^{2} + 2t)^{\frac{μ}{2}} = [−μ + \frac{μ(μ + 2)(t + 1)^{2}}{(t^{2} + 2t)} − 2μ(t + 1)D+

+(t^{2}+2t)D^{2}+(2ν +2μ+1)(t+1) (−\frac{μ(t + 1)}{(t^{2} + 2t)} + D)+μ(μ+2ν)](t^{2}+2t)^{\frac{μ}{2}} =

= [(t^{2} + 2t)D^{2} + (2ν + 1)(t + 1)D − \frac{μ(μ + 2ν − 1)}{t^{2} + 2t}] (t^{2} + 2t)^{\frac{μ}{2}}.

Лемма 1.2.4. Имеет место своего рода сплетающая формула C(t^{2} + 2t)^{\frac{μ}{2}}f(t) = sh^{μ} Cf(t). Д о к а з а т е л ь с т в о. Непосредственно из определения оператора замены

переменных C по формуле (1.1.2) следует C(t^{2} + 2t)^{\frac{μ}{2}}f(t) = (\overline{ch}^{2}(t) + 2\overline{ch}(t))^{\frac{μ}{2}}f(\overline{ch}(t)) = = ((ch(t) − 1)^{2} + 2(ch(t) − 1))^{\frac{μ}{2}} Cf(t) = = (ch^{2}(t) − 2 ch(t) + 1 + 2 ch(t) − 2)^{\frac{μ}{2}}Cf(t) = sh^{μ} Cf(t). Следующее утверждение устанавливает связь между операторами B_{ν,μ} и

S^{μ}.

Теорема 1.2.1. При ν, μ ∈ ℂ справедлива сплетающая формула

S^{μ}B_{ν,0}f = B_{ν,μ}S^{μ}f, f ∈ C^{∘}∞_{{0}}(0, ∞). (1.2.9)

Д о к а з а т е л ь с т в о. По леммам 1.1.3–1.2.4 получаем S^{μ}B_{ν,0} = (sh^{μ} CI^{−μ}A) B_{ν,0} =

(по лемме 1.2.4)

= (C(t^{2} + 2t)^{\frac{μ}{2}}I^{−μ}A) B_{ν,0} =

= (C(t^{2} + 2t)^{\frac{μ}{2}}I^{−μ}A) B_{ν,0} (CA) = C(t^{2} + 2t)^{\frac{μ}{2}}I^{−μ} (AB_{ν,0}C) A = (по лемме 1.2.1)

= C(t^{2} + 2t)^{\frac{μ}{2}}I^{−μ} [(t^{2} + 2t)D^{2} + (2ν + 1)(t + 1)D] A = (по лемма 1.2.2)

= C(t^{2}+2t)^{\frac{μ}{2}} [(t^{2}+2t)D^{2}+(2ν+2μ+1)(t+1)D+μ(μ+2ν)] I^{−μ}A = (по лемме 1.2.3)

= C [(t^{2}+2t)D^{2}+(2ν+1)(t+1)D−\frac{μ(μ+2ν−1)}{t^{2}+2t}] (t^{2}+2t)^{\frac{μ}{2}}I^{−μ}A =

(по лемме 1.2.1)

= CAB_{ν,μ}C(t^{2} + 2t)^{\frac{μ}{2}}I^{−μ}A = B_{ν,μ}C(t^{2} + 2t)^{\frac{μ}{2}}I^{−μ}A = (по лемме 1.2.4)

= B_{ν,μ} sh^{μ} CI^{−μ}A = B_{ν,μ}S^{μ}. Теорема доказана. Введем теперь операторы преобразования типа Сонина.^{⋆2)} Положим

⋆2)В дальнейшем все операторы преобразования, обозначаемые буквой S с различныи верхними и нижними индексами мы называем также операторами преобразования типа Сонина в связи с тем, что

S_{ν,μ}^{ν+μ}f(r)=\frac{1}{Γ(ν + μ)} ∫_{r}^{∞}(ch(ρ) − ch(r))^{ν+μ−1} sh^{1−μ}(ρ)f(ρ)dρ, (1.2.10)

где функция f ∈ C^{∘}∞_{{0}}(0, ∞). Эта формула может быть также записана в виде

S_{ν,μ}^{ν+μ} = S_{ν,0}^{ν}(S^{μ})^{−1}, (1.2.11) где дробный интеграл порядка ν по гиперболическим косинусам

S_{ν,0}^{ν}f(r) = J^{ν}f(r) = \frac{1}{Γ(ν)} ∫_{r}^{∞}(ch(ρ) − ch(r))^{ν−1} sh(ρ)f(ρ) dρ = (1.2.12)

= \frac{1}{Γ(ν)} ∫_{r}^{∞}(\overline{ch}(ρ) − \overline{ch}(r))^{ν−1}f(ρ) d \overline{ch}(ρ)

и (S^{μ})^{−1} — обратный к S^{μ} оператор:

(S^{μ})^{−1} = J^{μ} sh^{−μ} . Рассмотрим утверждение, связывающее операторы B_{ν,μ} при разных μ и ν:

Теорема 1.2.2. Имеет место следующее сплетающее соотношение: B_{ν,μ} sh^{κ} = sh^{κ}(B_{ν+μ,0} + κ(2ν + κ)), (1.2.13)

в которых κ = μ или κ = 1 − μ − 2ν.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем

B_{ν,μ} sh^{κ}(r) = [D_{r}^{2} + 2ν cth(r)D_{r} − \frac{μ(μ + 2ν − 1)}{sh^{2}(r)}] sh^{κ}(r) =

= D (κ sh^{κ−1}(r) ch(r) + sh^{κ}(r)D_{r}) +

+2ν cth(r) (κ sh^{κ−1}(r) ch(r)+ sh^{κ}(r)D_{r}) − sh^{κ}(r)\frac{μ(μ + 2ν − 1)}{sh^{2}(r)} =

некоторые их аналоги в евклидовом случае принято называть операторами преобразования Сонина

= κ(κ − 1) sh^{κ−2}(r) ch^{2}(r) + κ sh^{κ}(r)+

+κ sh^{κ−1}(r) ch(r)D_{r} + κ sh^{κ−1}(r) ch(r)D_{r} + sh^{κ}(r)D_{r}^{2}+

+2ν cth(r)κ sh^{κ−1}(r) ch(r) + 2ν cth(r) sh^{κ} D_{r} − sh^{κ}(r)\frac{μ(μ + 2ν − 1)}{sh^{2}(r)} =

= sh^{κ}(r)[κ(κ − 1) cth^{2}(r) + κ + 2κ cth(r)D_{r} + D_{r}^{2} + 2νκ cth^{2}(r)+

+2ν cth(r)D_{r} − \frac{μ(μ + 2ν − 1)}{sh^{2}(r)}] =

= sh^{κ}(r)[D_{r}^{2} + 2(κ + ν) cth(r)D_{r}+

+ (κ(κ − 1) + 2νκ) \frac{1 + sh^{2}(r)}{sh^{2}(r)} − \frac{μ(μ + 2ν − 1)}{sh^{2}(r)} + κ] =

= sh^{κ}(r)[D_{r}^{2} + 2(κ + ν) cth(r)D_{r} + \frac{κ(κ + 2ν − 1) − μ(μ + 2ν − 1)}{sh^{2}(r)}+

+κ (κ + 2ν)] = sh^{κ}(r)(B_{ν+κ,0} + κ (κ + 2ν)),

где κ = μ или κ = 1 − μ − 2ν. Теорема доказана. Таким образом, справедливы представления B_{ν,μ} = sh^{μ} [B_{ν+μ,0} + μ(μ + 2ν)] sh^{−μ}, (1.2.14)

B_{ν,μ} = sh^{1−μ−2ν} [B_{1−μ−ν,0} + (1 − μ)(1 − μ − 2ν)] sh^{2ν+μ−1} . (1.2.15) Для доказательства основного в теории операторов преобразований соотношения потребуется

Лемма 1.2.5. Верна следующая формула: C [(t^{2} + 2t)D_{t}^{2} + (t + 1)D_{t}] = D_{t}^{2}C. Д о к а з а т е л ь с т в о. Преобразуем левую и правую части этого равенства.

Левая часть допускает следующую цепочку преобразований: C [(t^{2} + 2t)D_{t}^{2} + (t + 1)D_{t}] f(t) =

= [(\overline{ch}^{2}(t) + 2\overline{ch}(t))D_{\overline{ch}(t)}^{2} + (\overline{ch}(t) + 1)D_{\overline{ch}(t)}] f(\overline{ch}(t)) =

= [((ch(t) − 1)^{2} + 2(ch(t) − 1)) D_{\overline{ch}(t)}^{2} + (ch(t) − 1 + 1)D_{\overline{ch}(t)}] f(\overline{ch}(t)) =

= [(ch^{2}(t) − 1)D_{\overline{ch}(t)}^{2} + ch(t)D_{\overline{ch}(t)}] f(\overline{ch}(t)) =

= [sh^{2}(t)D_{\overline{ch}(t)}^{2} + ch(t)D_{\overline{ch}(t)}] f(\overline{ch}(t)). Правая часть преобразуется к виду

D_{t}^{2}Cf(t) = D_{t}^{2}f(\overline{ch}(t)) = D_{t} (sh(t)D_{\overline{ch}(t)}f(\overline{ch}(t))) =

= ch(t)D_{\overline{ch}(t)}f(\overline{ch}(t)) + sh^{2}(t)D_{\overline{ch}(t)}^{2}f(\overline{ch}(t)) =

= [sh^{2}(t)D_{\overline{ch}(t)}^{2} + ch(t)D_{\overline{ch}(t)}] f(\overline{ch}(t)). Следовательно, справедлива формула

C [(t^{2} + 2t)D_{t}^{2} + (t + 1)D_{t}] = D_{t}^{2}C. Лемма доказана.

Теорема 1.2.3. Справедлива основная в теории операторов преобразований формула

S_{ν,μ}^{ν+μ}B_{ν,μ}f = (D^{2} − ν^{2})S_{ν,μ}^{ν+μ}f, (1.2.16)

где f ∈ C^{∘}∞_{{0}}(0, ∞).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства используем леммы 1.2.1, 1.2.2, 1.2.5, формулу (1.2.14) и равенство

S_{ν,μ}^{ν+μ} = CI^{ν+μ}A sh^{−μ} . (1.2.17) Имеем последовательно

S_{ν,μ}^{ν+μ}B_{ν,μ}f = (по формуле (1.2.14))

= S_{ν,μ}^{ν+μ} sh^{μ} [B_{ν+μ,0} + μ(μ + 2ν)] sh^{−μ} f =

= S_{ν,μ}^{ν+μ} sh^{μ} [CAB_{ν+μ,0}CA + μ(μ + 2ν)CA] sh^{−μ} f =

= S_{ν,μ}^{ν+μ} sh^{μ} C [AB_{ν+μ,0}C + μ(μ + 2ν)] A sh^{−μ} f = (по лемме 1.2.1)

= S_{ν,μ}^{ν+μ} sh^{μ} C [(t^{2} + 2t)D^{2} + (2ν + 2μ + 1)(t + 1)D + μ(μ + 2ν)] A sh^{−μ} f =

= S_{ν,μ}^{ν+μ} sh^{μ} C [(t^{2}+2t)D^{2}+(2ν+2μ+1)(t+1)D+μ(μ+2ν)] I^{−μ}I^{μ}A sh^{−μ} f = (по лемме 1.2.2)

= S_{ν,μ}^{ν+μ} sh^{μ} CI^{−μ} [(t^{2} + 2t)D^{2} + (2ν + 1)(t + 1)D] I^{μ}A sh^{−μ} f =

= S_{ν,μ}^{ν+μ} sh^{μ} CI^{−(μ+ν)}I^{ν} [(t^{2} + 2t)D^{2} + (2ν + 1)(t + 1)D] I^{μ}A sh^{−μ} f = (по лемме 1.2.2 при μ = −ν)

= S_{ν,μ}^{ν+μ} sh^{μ} CI^{−(μ+ν)} [(t^{2} + 2t)D^{2} + (t + 1)D − ν^{2}] I^{μ+ν}A sh^{−μ} f = (по формуле (1.2.17))

= (CI^{μ+ν}A sh^{−μ}) sh^{μ} CI^{−(μ+ν)} [(t^{2}+2t)D^{2}+(t+1)D−ν^{2}] I^{μ+ν}A sh^{−μ} f = (по лемме 1.2.5)

= [D^{2} − ν^{2}] (CI^{μ+ν}A sh^{−μ})f = (по формуле (1.2.17))

= [D^{2} − ν^{2}] S_{ν,μ}^{ν+μ}f. Замечание. Теорема 1.2.3 верна на самом деле при любых ν, μ ∈ ℂ, если

естественным образом определить S_{ν,μ}^{ν+μ} при таких ν, μ:

S_{ν,μ}^{ν+μ} = J^{ν+μ} sh^{−μ} . (1.2.18) Введём более общие операторы преобразования S_{ν,μ}^{λ}, λ ∈ ℂ, по формуле S_{ν,μ}^{λ} = I^{−ν−μ+λ}S_{ν,μ}^{ν+μ}. (1.2.19)

Тогда вместе с теоремой 1.2.3 верна Теорема 1.2.4. Справедлива формула S_{ν,μ}^{λ}B_{ν,μ}f = (D^{2} − ν^{2})S_{ν,μ}^{λ}f, (1.2.20)

где f ∈ C^{∘}∞_{{0}}(0, ∞).

Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле, используя формулы (1.2.19) и (1.2.16) и коммутируемость операторов дифференцирования и лиувиллевских операторов, имеем

S_{ν,μ}^{λ}B_{ν,μ}f = I^{−ν−μ+λ}S_{ν,μ}^{ν+μ}B_{ν,μ}f = I^{−ν−μ+λ}(D^{2} − ν^{2})S_{ν,μ}^{ν+μ}f =

= (D^{2} − ν^{2})I^{−ν−μ+λ}S_{ν,μ}^{ν+μ}f = (D^{2} − ν^{2})S_{ν,μ}^{λ}f,

Определим также операторы преобразования "нулевого порядка" S_{ν,μ}^{0}^{⋆3)} как частный случай операторов S_{ν,μ}^{λ} при λ = 0, то есть

S_{ν,μ} = I^{−ν−μ}S_{ν,μ}^{ν+μ}. (1.2.21)

⋆3)В дальнейшем нуль в обозначении этого основного оператора будет как правило опускаться

Для него справедливо Следствие 1.2.1. Справедлива формула S_{ν,μ}^{0}B_{ν,μ}f ≡ S_{ν,μ}B_{ν,μ}f = (D^{2} − ν^{2})S_{ν,μ}f, (1.2.22)

где f ∈ C^{∘}∞_{{0}}(0, ∞).

Введем вспомогательный дифференциальный оператор

ℬ _{±μ} = \frac{1}{Q_{±μ}}DQ_{±μ}D, D = \frac{∂}{∂r}, Q_{±μ}(r) = sh(r) th^{±2μ}(r/2). (1.2.23)

Непосредственным дифференцированием проверяется формула

ℬ _{±μ} ≡ D_{r}^{2}+\frac{ch(r) ± 2μ}{sh(r)}D_{r}. (1.2.24)

Докажем для этого оператора важную лемму. Лемма 1.2.6. Для любых комплексных μ справедлива сплетающая опера-

торная формула th^{∓μ}(r/2) [D_{r}^{2}+ cth(r)D_{r}−\frac{μ^{2}}{sh^{2}(r)}] th^{±μ}(r/2) ≡ (1.2.25)

≡ th^{∓μ}(r/2)B_{\frac{1}{2},μ} th^{±μ}(r/2) = D_{r}^{2}+\frac{ch(r) ± 2μ}{sh(r)}D_{r} ≡ ℬ _{±μ}.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала докажем вспомогательную формулу sh(r)D_{r}(th^{k}(r/2)) = k th^{k}(r/2).

В самом деле, sh(r)D_{r}(th^{k}(r/2)) = sh(r)k th^{k−1}(r/2)\frac{1}{ch^{2}(r/2)} \frac{1}{2} =

=2 sh(r/2) ch(r/2)\frac{k}{2} th^{k−1}(r/2)\frac{1}{ch^{2}(r/2)}=k\frac{sh(r/2)}{ch(r/2)} th^{k−1}(r/2)=k th^{k}(r/2).

И тогда, в случае одного набора знаков, используя вышедоказанное равенство и формулу sh^{−1}(r)D_{r} sh(r)D_{r} = D_{r}^{2} + cth(r)D_{r}, имеем

th^{−μ}(r/2) [D_{r}^{2} + cth(r)D_{r} − \frac{μ^{2}}{sh^{2}(r)}] th^{μ}(r/2) =

= th^{−μ}(r/2) [(sh^{−1}(r)D_{r} sh(r)D_{r}) th^{μ}(r/2) − \frac{μ^{2}}{sh^{2}(r)} th^{μ}(r/2)] =

= th^{−μ}(r/2) [sh^{−1}(r)D_{r} (μ th^{μ}(r/2) + sh(r) th^{μ}(r/2)D_{r}) − \frac{μ^{2} th^{μ}(r/2)}{sh^{2}(r)}] =

= th^{−μ}(r/2) [sh^{−2}(r)μ th^{μ}(r/2) + μ sh^{−1}(r) th^{μ}(r/2)D_{r}+ + sh^{−1}(r) ch(r) th^{μ}(r/2)D_{r} + th^{μ}(r/2)D_{r}^{2} + sh^{−2}(r) sh(r)μ th^{μ}(r/2)D_{r}−

−\frac{μ^{2} th^{μ}(r/2)}{sh^{2}(r)}] = th^{−μ}(r/2) [2μ sh^{−1}(r) th^{μ}(r/2)D_{r}+

+ sh^{−1}(r) ch(r) th^{μ}(r/2)D_{r} + th^{μ}(r/2)D_{r}^{2}] = D_{r}^{2} + \frac{ch(r) + 2μ}{sh(r)} D_{r}.

В случае второго набора знаков доказательство совершенно аналогично. Следствие 1.2.2. [Формулы типа Дарбу-Вайнштейна] Справедливы две

сплетающие операторные формулы

th^{∓μ}(r/2) [D_{r}^{2}+ cth(r)D_{r}−\frac{μ^{2}}{sh^{2}(r)}] th^{±μ}(r/2)=Q_{±μ}^{−1}D_{r}Q_{±μ}D_{r}, (1.2.26)

где

Q_{±μ}(r) = sh(r) th^{±2μ}(r/2) = \frac{2 sh^{±2μ+1}(r/2)}{ch^{±2μ−1}(r/2)}.

Это есть следствие непосредственно проверяемой формулы

Q_{±μ}^{−1}D_{r}Q_{±μ}D_{r} = D_{r}^{2} + \frac{ch(r) ± 2μ}{sh(r)} D_{r}.

1.3. Операторы преобразования на гладких функциях

Для оценки нормы операторов преобразования в естественных функциональных пространствах мы применим общую схему, справедливую и для более общих операторов (в которых функция ch заменяется на более общую).

Пусть сначала параметр λ ∈ ℕ и функция g ∈ C^{∘}^{∞}[0, 1).

Рассмотрим непосредственно связанный с оператором преобразования S_{ν,μ} вспомогательный оператор вида

S_{λ}g(r) = \frac{(−1)^{λ}}{(λ − 1)!}D_{r}^{λ} ∫_{r}^{1}(ch ρ − ch r)^{λ−1}g(ρ) sh ρ dρ. (1.3.1)

Так как подынтегральная функция имеет нуль порядка λ − 1 в точке ρ = r, то оператор D_{r}^{λ−1} можно занести под знак интеграла. Дифференцируя далее по нижнему пределу, получим

S_{λ}g(r) = \frac{(−1)^{λ}}{(λ − 1)!}D_{r} ∫_{r}^{1} D_{r}^{λ−1}(ch ρ − ch r)^{λ−1}g(ρ) sh ρ dρ =

= \frac{(−1)^{λ−1}}{(λ − 1)!} [D_{r}^{λ−1}(ch ρ − ch r)^{λ−1}]_{ρ=r} g(r) sh r+

+\frac{(−1)^{λ}}{(λ − 1)!} ∫_{r}^{1} D_{r}^{λ}(ch ρ − ch r)^{λ−1}g(ρ) sh ρ dρ =

= (sh r)^{λ}g(r) + \frac{(−1)^{λ}}{(λ − 1)!} ∫_{r}^{1} D_{r}^{λ}(ch ρ − ch r)^{λ−1}g(ρ) sh ρ dρ.

Таким образом, имеем разложение

S_{λ} = (E + K) sh^{λ}, где E - тождественный оператор, а интегральный оператор K имеет вид

Kf(r) ≡ ∫_{r}^{1} K(r, ρ)f(ρ)dρ ≡ ∫_{r}^{1} \frac{(−1)^{λ}}{(λ − 1)!}D_{r}^{λ}(ch ρ − ch r)^{λ−1}(sh ρ)^{1−λ}f(ρ) dρ.

Для оценки ядра K потребуются две леммы.

Лемма 1.3.1. Существует абсолютная постоянная a > 0 такая, что для всех λ ∈ ℝ и всех целых m ⩾ 0 справедлива оценка

|D_{r}^{m} (\frac{ch ρ − ch r}{ρ^{2} − r^{2}})^{λ−1}| ⩽ m! a^{λ+m}, (1.3.2)

где ρ, r ∈ [0, 1].

Д о к а з а т е л ь с т в о. Функция комплексной переменной z

\frac{ch ρ − ch z}{ρ^{2} − z^{2}} = 2\frac{sh \frac{ρ−z}{2}}{ρ − z} · \frac{sh \frac{ρ+z}{2}}{ρ + z} (1.3.3)

голоморфна внутри окружности γ = \{z : |z − \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}\} на комплексной плоскости и не имеет там нулей, поэтому функция

(\frac{ch ρ − ch r}{ρ^{2} − r^{2}})^{λ−1} ,

где выбирается одна из ветвей многозначной степенной функции, также голоморфна и поэтому для неё справедлива формула Коши

D_{r}^{m} (\frac{ch ρ − ch r}{ρ^{2} − r^{2}})^{λ−1} = \frac{m!}{2πi} ∫_{γ} (\frac{ch ρ − ch z}{ρ^{2} − z^{2}})^{λ−1} \frac{dz}{(z − r)^{1+m}}.

Так как функция (1.3.3) по модулю ограничена сверху и снизу на γ равномерно по ρ, то из предыдущей формулы имеем с некоторой постоянной a_{1} > 0

|D_{r}^{m} (\frac{ch ρ − ch r}{ρ^{2} − r^{2}})^{λ−1}| ⩽ \frac{a_{1}^{λ−1}m!}{2π} ∫_{γ} \frac{|dz|}{|z − r|^{1+m}} ⩽

⩽ \frac{a_{1}^{λ−1}m!(2)^{1+m}}{2π} ∫_{γ} |dz| = a_{1}^{λ−1}m!(2)^{m},

что и доказывает лемму.

Лемма 1.3.2. Существует абсолютная постоянная a > 0 такая, что для всех целых m, n ⩾ 0 и для любых r, ρ ∈ ℝ справедлива оценка

|D_{r}^{m}(ρ^{2} − r^{2})^{n}| ⩽ m! a^{n+m}ρ^{2n−m} при |r| ⩽ |ρ|.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем

D_{r}^{m}(ρ^{2} − r^{2})^{n} = ρ^{2n}D_{r}^{m} (1 − (\frac{r}{ρ})^{2})^{n} = ρ^{2n−m}D_{t}^{m} (1 − t^{2})^{n} ,

где t = \frac{r}{ρ}, поэтому |t| ⩽ 1. Функцию D_{t}^{m} (1 − t^{2})^{n} можно оценить с помощью формулы Коши, как и в предыдущей лемме:

|D_{t}^{m} (1 − t^{2})^{n} | ⩽ m!a^{n+m} с некоторой абсолютной постоянной a > 1. Лемма доказана.

Вернемся к оценке ядра. Имеем

K(r, ρ) = \frac{(−1)^{λ}}{(λ − 1)!}D_{r}^{λ} [(ρ^{2} − r^{2})\frac{ch ρ − ch r}{(ρ^{2} − r^{2})}]^{λ−1} (sh ρ)^{1−λ} =

= \frac{(−1)^{λ}(sh ρ)^{1−λ}}{(λ − 1)!} ∑_{m=0}^{λ} \frac{λ!D_{r}^{m}((ρ^{2} − r^{2})^{λ−1}}{m!(λ − m)!}D_{r}^{λ−m} (\frac{ch ρ − ch r}{ρ^{2} − r^{2}})^{λ−1} ,

а из двух предыдущих лемм следует оценка

|K(r, ρ)| ⩽ \frac{(sh ρ)^{1−λ}}{(λ − 1)!} ∑_{m=0}^{λ} λ!a^{m+λ−1+2λ−m}ρ^{2(λ−1)−m} =

= λ(sh ρ)^{1−λ}a^{3λ−1}ρ^{2(λ−1)−λ} ∑_{m=0}^{λ} ρ^{m} ⩽ λ(λ + 1)(sh ρ)^{1−λ}a^{3λ−1}ρ^{λ−2} ⩽

⩽ λ(λ + 1)(2ρ)^{1−λ}a^{3λ−1}ρ^{λ−2} ⩽ \frac{λ(λ + 1)a_{2}^{λ}}{ρ}.

По обобщенному неравенству Минковского получаем искомую оценку оператора K, а именно:

||Kf||_{L_{2}(0,1)} ⩽ λ(λ + 1)a_{2}^{λ}\sqrt{∫_{0}^{1} (∫_{r}^{1} \frac{1}{ρ}|f(ρ)|dρ)^{2} dr} =

= λ(λ + 1)a_{2}^{λ}\sqrt{∫_{0}^{∞} (∫_{r}^{∞} \frac{1}{ρ}|f(ρ)|dρ)^{2} dr} =

= λ(λ + 1)a_{2}^{λ}\sqrt{∫_{0}^{∞} (∫_{1}^{∞} \frac{1}{t}|f(rt)|dt)^{2} dr} ⩽

⩽ λ(λ + 1)a_{2}^{λ} ∫_{1}^{∞} \sqrt{∫_{0}^{∞}|f(rt)|^{2}dr}\frac{dt}{t} = λ(λ + 1)a_{2}^{λ} ∫_{1}^{∞}t^{−\frac{3}{2}}dt · ||f||_{L_{2}(0,∞)} =

= 2λ(λ + 1)a_{2}^{λ}||f||_{L_{2}(0,1)} ⩽ a_{3}^{λ}||f||_{L_{2}(0,1)}. Рассмотрим случай дробных λ > 0. Положим λ = [λ] − λ′, где 0 < λ′ < 1,

а [λ] ∈ ℕ. Введем оператор

S_{λ}g(r) = \frac{(−1)^{[λ]}}{Γ(λ′)Γ(λ)}D_{r}^{[λ]} ∫_{r}^{1}(t − r)^{λ′−1} (∫_{t}^{1}(ch ρ − ch t)^{λ−1}g(ρ) sh ρdρ) dt =

= \frac{(−1)^{[λ]}}{Γ(λ′)Γ(λ)}D_{r}^{[λ]} ∫_{r}^{1} g(ρ) sh ρ (∫_{r}^{ρ}(t − r)^{λ′−1}(ch ρ − ch t)^{λ−1}dt) dρ. (1.3.4)

Внутренний интеграл, как функция ρ, имеет при ρ = r нуль порядка [λ]−1, поэтому

S_{λ}g(r) = \frac{(−1)^{[λ]}}{Γ(λ′)Γ(λ)}D_{r} ∫_{r}^{1} g(ρ) sh ρD_{r}^{[λ]−1} (∫_{r}^{ρ}(t−r)^{λ′−1}(ch ρ− ch t)^{λ−1}dt)dρ=

= \frac{(−1)^{[λ]−1}}{Γ(λ′)Γ(λ)}g(r) sh r [D_{r}^{[λ]−1} ∫_{r}^{ρ}(t − r)^{λ′−1}(ch ρ − ch t)^{λ−1}dt]_{ρ=r} +

+\frac{(−1)^{[λ]}}{Γ(λ′)Γ(λ)} ∫_{r}^{1} g(ρ) sh ρD_{r}^{[λ]} (∫_{r}^{ρ}(t − r)^{λ′−1}(ch ρ − ch t)^{λ−1}dt) dρ.

Используя замену переменной t = r + x(ρ − r) и стандартные свойства функций Эйлера Γ и B, получим

[D_{r}^{[λ]−1} ∫_{r}^{ρ}(t − r)^{λ′−1}(ch ρ − ch t)^{λ−1}dt]_{ρ=r} =

= [D_{r}^{[λ]−1} ∫_{r}^{ρ}(t − r)^{λ′−1} (\frac{ch ρ − ch t}{ρ^{2} − t^{2}})^{λ−1} (ρ − t)^{λ−1}(ρ + t)^{λ−1}dt]_{ρ=r} =

= [D_{r}^{[λ]−1}(ρ − r)^{[λ]−1} ∫_{0}^{1} x^{λ′−1}(1 − x)^{λ−1}(ρ(1 + x) + r(1 − x))^{λ−1} ×

× (\frac{ch ρ − ch t}{ρ^{2} − t^{2}})_{t=r+x(ρ−r)}^{λ−1} dx]_{ρ=r} =

= (−1)^{[λ]−1}([λ] − 1)! [∫_{0}^{1} x^{λ′−1}(1 − x)^{λ−1}(ρ(1 + x) + r(1 − x))^{λ−1} ×

× (\frac{ch ρ − ch t}{ρ^{2} − t^{2}})_{t=r+x(ρ−r)}^{λ−1} dx]_{ρ=r} = (−1)^{[λ]−1}([λ] − 1)!×

× ∫_{0}^{1} x^{λ′−1}(1 − x)^{λ−1} lim_{ρ→r} [(ρ(1+x)+r(1−x))^{λ−1} (\frac{ch ρ− ch t}{ρ^{2}−t^{2}})_{t=r+x(ρ−r)}^{λ−1}] dx =

= (−1)^{[λ]−1}([λ] − 1)! ∫_{0}^{1} x^{λ′−1}(1 − x)^{λ−1}(2r)^{λ−1}×

× lim_{ρ→r} [ \frac{sh \frac{ρ−r−x(ρ−r)}{2} sh \frac{ρ+r+x(ρ−r)}{2}}{\frac{ρ−r−x(ρ−r)}{2}(ρ + r + x(ρ − r))}]^{λ−1} dx =

= (−1)^{[λ]−1}([λ] − 1)!(sh r)^{λ−1} ∫_{0}^{1} x^{λ′−1}(1 − x)^{λ−1}dx =

= \frac{(−1)^{[λ]−1}Γ([λ])Γ(λ′)Γ(λ)(sh r)^{λ−1}}{Γ(λ′ + λ)} = (−1)^{[λ]−1}Γ(λ′)Γ(λ)(sh r)^{λ−1}

Значит, как и в случае натуральных значений λ, справедливо равенство S_{λ} = (E + K) sh^{λ}, где на этот раз интегральный оператор K имеет вид

Kf(r) ≡ ∫_{r}^{1} K(r, ρ)f(ρ)dρ ≡

≡ \frac{(−1)^{[λ]}}{Γ(λ′)Γ(λ)} ∫_{r}^{1} g(ρ)(sh ρ)^{1−λ}D_{r}^{[λ]} (∫_{r}^{ρ}(t − r)^{λ′−1}(ch ρ − ch t)^{λ−1}dt) dρ.

Заменой переменной t = r + x(ρ − r) приведем ядро K к виду

K(r, ρ) = sh(ρ)^{1−λ} \frac{(−1)^{[λ]}}{Γ(λ′)Γ(λ)} ∫_{0}^{1} x^{λ′−1}(1 − x)^{λ−1}×

×D_{r}^{[λ]} [(ρ − r)^{[λ]−1}(ρ(1 + x) + r(1 − x))^{λ−1} (\frac{ch ρ − ch t}{ρ^{2} − t^{2}})_{t=xρ+r(1−x)}^{λ−1}] dx.

Дифференцируя произведение, получим

D_{r}^{[λ]} [(ρ − r)^{[λ]−1}(ρ(1 + x) + r(1 − x))^{λ−1} (\frac{ch ρ − ch t}{ρ^{2} − t^{2}})_{t=xρ+r(1−x)}^{λ−1}] =

= ∑_{m_{1}+m_{2}+m_{3}=[λ]} ; m_{1}⩽[λ]−1 \frac{[λ]!D_{r}^{m_{1}}(ρ − r)^{[λ]−1}}{m_{1}!m_{2}!m_{3}!}D_{r}^{m_{2}}(ρ(1 + x) + r(1 − x))^{λ−1}×

×(1 − x)^{m_{3}} [D_{t}^{m_{3}} (\frac{ch ρ − ch t}{ρ^{2} − t^{2}})^{λ−1}]_{t=xρ+r(1−x)} .

Далее |D_{r}^{m_{1}}(ρ − r)^{[λ]−1}| = |ρ^{[λ]−1−m_{1}} (D_{t}^{m_{1}}(1 − t)^{[λ]−1})_{t=\frac{r}{ρ}} | ⩽

⩽ ρ^{[λ]−1−m_{1}}m_{1}!a^{m_{1}+[λ]−1}, так как 0 ⩽ t ⩽ 1;

|D_{r}^{m_{2}}(ρ(1 + x) + r(1 − x))^{λ−1}| =

= |ρ^{λ−1}(1 + x)^{λ−1} (D_{t}^{m_{2}}(1 + t)^{λ−1})_{t=\frac{r(1−x)}{ρ(1+x)}} (\frac{1 − x}{ρ(1 + x)})^{m_{2}} | ⩽

⩽ ρ^{λ−1−m_{2}}m_{2}!a^{m_{2}+λ−1}, так как 0 ⩽ t ⩽ 1 ;

|[D_{t}^{m_{3}} (\frac{ch ρ − ch t}{ρ^{2} − t^{2}})^{λ−1}]_{t=xρ+r(1−x)}| ⩽ m_{3}!a^{m_{3}+λ−1},

по лемме 1.3.1 так как r ⩽ t ⩽ ρ. Здесь a - некоторая положительная постоянная, а при выводе первой и второй оценок использовалась идея доказательства лемм 1.3.1, 1.3.2. Объединяя полученные оценки, находим

|K(r, ρ)| ⩽ sh(ρ)^{1−λ} \frac{1}{Γ(λ′)Γ(λ)} ∫_{0}^{1} x^{λ′−1}(1 − x)^{λ−1}×

× ∑_{m_{1}+m_{2}+m_{3}=[λ]}[λ]!ρ^{[λ]+λ−2−m_{1}−m_{2}}a^{m_{1}+m_{2}+m_{3}+2λ+[λ]−2}dx ⩽

⩽ \frac{(2ρ)^{1−λ}a^{2([λ]+λ−1)}ρ^{λ−2}[λ]!}{Γ(λ′)Γ(λ)} ( ∑_{m_{1}+m_{2}+m_{3}=[λ]} 1) ∫_{0}^{1} x^{λ′−1}(1 − x)^{λ−1}dx =

= \frac{(2ρ)^{1−λ}a^{2([λ]+λ−1)}ρ^{λ−2}[λ]!\overline{C}_{3}^{[λ]}}{Γ(λ′ + λ)} = \frac{a^{2([λ]+λ−1)}[λ]!}{2^{λ}ρΓ(λ′ + λ)}([λ] + 1)([λ] + 2) ⩽ \frac{a_{1}^{λ}}{ρ}.

Опустим остальные выкладки, которые аналогичны предыдущему случаю. Итак, доказана

Лемма 1.3.3. Пусть λ ∈ ℝ. Тогда оператор S_{λ}, определенный при натуральных λ по формуле (1.3.1), а при дробных λ по формуле (1.3.4), допускает расширение по непрерывности из множества C^{∘}^{∞}(0, 1) до ограниченного оператора, действующего из пространства L_{2,λ}(0, 1) в пространство L_{2}(0, 1), причем имеет место оценка вида

∥S_{λ}f∥_{L_{2}(0,1)} ⩽ a^{λ}∥f∥_{L_{2,λ}(0,1)}, где a > 0 - некоторая абсолютная постоянная.

Здесь и ниже через L_{2,α}(0, R) обозначается весовое лебегово пространство с нормой

∥f∥_{L_{2,α}(0,R)}^{2} ≡ ∥ sh^{α} f∥_{L_{2}(0,R)}^{2} = ∫_{0}^{R} |f(r)|^{2} sh^{2α}(r)dr.

Следствие 1.3.1. Оператор преобразования S_{ν,μ} допускает расширение по непрерывности из множества C^{∘}^{∞}(0, R) до ограниченного оператора, действующего из пространства L_{2,ν}(0, R) в пространство L_{2}(0, R), где 0 < R < 1, причем имеет место оценка вида

∥S_{ν,μ}f∥_{L_{2}(0,R)} ⩽ a^{ν+μ}∥f∥_{L_{2,ν}(0,R)}, где a > 0 некоторая абсолютная постоянная.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как S_{ν+μ} = S_{ν,μ} sh^{μ} и так как вместе с функцией f ∈ C^{∘}^{∞}(0, R) и функция sh^{−μ} f ∈ C^{∘}^{∞}(0, R), то из леммы 1.3.3 следует справедливость неравенства в цепочке соотношений

∥S_{ν,μ}f∥_{L_{2}(0,R)} = ∥S_{ν+μ} sh^{−μ} f∥_{L_{2}(0,R)} ⩽ a^{ν+μ}∥ sh^{−μ} f∥_{L_{2,ν+μ}(0,1)} =

= a^{ν+μ}∥f∥_{L_{2,ν}(0,R)},

а справедливость двух равенств в этой же цепочке соотношений обеспечивает то, что носитель supp(f) = supp(sh^{±μ} f) ⊂ (0, R) ⊂ (0, 1), что и доказывает следствие.

1.4. Весовые следы гладких функций

Оператор преобразования типа Сонина S_{ν,μ}^{λ} = I^{−ν−μ+λ}J^{ν+μ} sh^{−μ}, λ, ν, μ ∈ ℂ (1.4.5)

отображает множество функций C^{∘}∞_{{0}}(0, ∞) взаимно однозначно на себя так как каждый из операторов – множителей справа в (1.4.5) обладает этим свойством. Обратным к нему является оператор преобразования типа Пуассона,^{⋆4)} имеющий вид

P_{ν,μ}^{−λ} = sh^{μ} J^{−ν−μ}I^{ν+μ−λ} = P_{ν,μ}^{0}I^{−λ}. (1.4.6) Рассмотрим оператор P_{ν,μ}^{0} ≡ P_{ν,μ}^{⋆5)} на гладких в точке 0 функциях, точнее

- на функциях f ∈ C^{∞}[0, ∞) ∩ C^{∘}∞_{{0}}(0, ∞) = C^{∘}^{∞}[0, ∞). Обозначим через g функцию вида g = I^{ν+μ}f, тогда g ∈ C^{∘}^{∞}[0, ∞), поскольку лиувиллевские операторы любых порядков отображают множество C^{∘}^{∞}[0, ∞) взаимнооднозначно на себя.

Лемма 1.4.1. Пусть ν ⩾ \frac{1}{2}, целое μ ⩾ 0 и функция f ∈ C^{∘}^{∞}[0, ∞). Тогда справедливы следующие предельные соотношения:

lim_{r→+0} r^{2ν+μ−1}P_{ν,μ}f(r) = −\frac{2^{ν+μ−1}Γ (ν + μ − \frac{1}{2})}{Γ (\frac{1}{2})} I^{ν+μ−1}f(r)|_{r=+0}

при ν + μ > \frac{1}{2},

lim_{r→+0} \frac{1}{ln r}P_{\frac{1}{2},0}f(r) = −\frac{\sqrt{2}}{Γ (\frac{1}{2})} I^{−\frac{1}{2}}f(r)|_{r=+0}

при ν = \frac{1}{2}, μ = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ν + μ ∈ ℕ, тогда из (1.4.6) имеем

P_{ν,μ}f(r) = sh^{μ}(r) (−\frac{d}{sh(r)dr})^{ν+μ} g(r) =

= (−1)^{ν+μ} sh^{μ−1}(r) (D sh^{−1})^{ν+μ−1} Dg(r) =

= (−1)^{ν+μ} sh^{μ−1}(r) (D sh^{−1})^{ν+μ−2} (D\frac{1}{r} \frac{r}{sh(r)}) Dg(r) =

⋆4)В дальнейшем все операторы преобразования, обозначаемые символом P с верхними и нижними индексами, мы называем операторами преобразования типа Пуассона, поскольку аналоги некоторых из них в евклидовых пространствах называются операторами преобразования Пуассона ⋆5)По аналогии с операторами типа Сонина нуль в символе P_{ν,μ}^{0} в дальнейшем мы, как правило, опускаем

= (−1)^{ν+μ} sh^{μ−1}(r) (D sh^{−1})^{ν+μ−2} (−\frac{1}{r^{2}} \frac{r}{sh(r)} + \frac{1}{r}D\frac{r}{sh(r)}) Dg(r) =

= (−1)^{ν+μ} sh^{μ−1}(r) (D sh^{−1})^{ν+μ−2} ×

× (−\frac{1}{r^{2}} \frac{r}{sh(r)}g′(r)+\frac{1}{r}D(\frac{r}{sh(r)}) g′(r)+\frac{1}{sh(r)} g′′(r)) =

= (−1)^{ν+μ} sh^{μ−1}(r) (D sh^{−1})^{ν+μ−2} (−\frac{1}{r^{2}} \frac{r}{sh(r)}g′(r) + O(r^{−1})) =

= (−1)^{ν+μ} sh^{μ−1}(r) (D sh^{−1})^{ν+μ−3} D\frac{1}{r} \frac{r}{sh(r)} (−\frac{1}{r^{2}} \frac{r}{sh(r)}Dg + O(r^{−1})) =

= (−1)^{ν+μ} sh^{μ−1}(r) (D sh^{−1})^{ν+μ−3} (D\frac{−1}{r^{3}} \frac{r^{2}}{sh^{2}(r)}Dg + O(r^{−3})) =

= (−1)^{ν+μ} sh^{μ−1}(r) (D sh^{−1})^{ν+μ−3} (\frac{3}{r^{4}} (\frac{r}{sh(r)})^{2} Dg + O(r^{−3})) = ... =

= −\frac{sh^{μ−1}(r)(2(ν + μ − 1) − 1)!!}{r^{2(ν+μ−1)}} (\frac{r}{sh(r)})^{ν+μ−1} Dg + O(r^{−2ν−μ+2}).

Переходя к пределу, получим

lim_{r→+0}(sh(r))^{2ν+μ−1}P_{ν,μ}f(r) = lim_{r→+0} r^{2ν+μ−1}P_{ν,μ}f(r) =

= −(2ν + 2μ − 3)!!Dg(0) = −\frac{2^{ν+μ−1}Γ(ν + μ − \frac{1}{2})}{Γ(\frac{1}{2})}Dg(0).

Пусть теперь ν + μ = λ − λ′, где 0 < λ′ < 1 и λ ∈ ℕ. Из (1.4.6) имеем

P_{ν,μ}f(r) = \frac{sh^{μ}(r)}{Γ(λ′)} ∫_{r}^{∞}(ch(ρ) − ch(r))^{λ′−1} sh(ρ) (−\frac{1}{sh(ρ)}D)^{λ} g(ρ)dρ.

Аналогично предыдущим выкладкам получаем

P_{ν,μ}f(r) = \frac{−(2λ − 3)!! sh^{μ}(r)}{Γ(λ′)} ∫_{r}^{∞}(ch(ρ) − ch(r))^{λ′−1} \frac{1}{ρ^{2λ−2}} (\frac{ρ}{sh(ρ)})^{λ−1} ×

×Dg(ρ)dρ + O(r^{−2ν−μ+2}) = −\frac{(2λ − 3)!! sh^{μ}(r)}{Γ(λ′)}×

× ∫_{r}^{∞}(ρ^{2} − r^{2})^{λ′−1}ρ^{2−2λ}Q(r, ρ)Dg(ρ)dρ + O(r^{−2ν−μ+2}),

где

Q(r, ρ) = (\frac{ch(ρ) − ch(r)}{ρ^{2} − r^{2}})^{λ′−1} (\frac{ρ}{sh(ρ)})^{λ−1}

Используя замену переменной интегрирования ρ = rt, получим

P_{ν,μ}f(r) = −\frac{(2λ − 3)!! sh^{μ}(r)}{Γ(λ′)}×

× ∫_{1}^{∞}r^{2(λ′−1)}(t^{2} − 1)^{λ′−1}(rt)^{2−2λ}Q(r, rt)D_{rt}g(rt)rdt + O(r^{−2ν−μ+2}) =

= −\frac{(2λ − 3)!! sh^{μ}(r)}{Γ(λ′)r^{2(λ−λ′)−1}} ∫_{1}^{∞}(t^{2} − 1)^{λ′−1}t^{2−2λ}Q(r, rt)D_{rt}g(rt)dt + O(r^{−2ν−μ+2}).

В случае сходимости рассматриваемого интеграла на бесконечности, т.е. при ν + μ > \frac{1}{2}, по теореме Лебега о возможности предельного перехода по параметру под знаком интеграла, получим

lim_{r→+0}(sh r)^{2ν+μ−1}P_{ν,μ}f(r) =

= −\frac{(2λ − 3)!!}{Γ(λ′)} ∫_{1}^{∞}(t^{2} − 1)^{λ′−1}t^{2−2λ} lim_{r→+0} Q(r, rt)g′(0)dt.

Так как

lim_{r→+0} Q(r, rt) = lim_{r→+0} (\frac{2 sh \frac{rt−r}{2} sh \frac{rt+r}{2}}{(rt − r)(rt + r)})^{λ′−1} (\frac{rt}{sh(rt)})^{λ−1} = 2^{1−λ′}

и

∫_{1}^{∞}(t^{2} − 1)^{λ′−1}t^{2−2λ}dt = | \begin{matrix}τ = 1 − \frac{1}{t^{2}}, \\ dt = \frac{1}{2}(1 − τ)^{−\frac{3}{2}}dτ \end{matrix} | =

= \frac{1}{2} ∫_{0}^{1} (\frac{τ}{1 − τ} )^{λ′−1} (1 − τ)^{λ−1}(1 − τ)^{−\frac{3}{2}}dτ = \frac{1}{2} ∫_{0}^{1} τ^{λ′−1}(1 − τ)^{λ−λ′−\frac{3}{2}}dτ =

= \frac{1}{2}B (λ′, λ − λ′ − \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \frac{Γ(λ′)Γ (λ − λ′ − \frac{1}{2})}{Γ (λ − \frac{1}{2})},

то

lim_{r→+0}(sh(r))^{2ν+μ−1}P_{ν,μ}f(r) = −\frac{(2λ − 3)!!Γ (λ − λ′ − \frac{1}{2})}{2^{λ′}Γ (λ − \frac{1}{2})}g′(0) =

= −\frac{2^{λ−1}Γ (λ − \frac{1}{2}) Γ (λ − λ′ − \frac{1}{2})}{2^{λ′}Γ (\frac{1}{2}) Γ (λ − \frac{1}{2})}g′(0) =

= −\frac{2^{λ−λ′−1}Γ (λ − λ′ − \frac{1}{2})}{Γ (\frac{1}{2})}g′(0).

Возвращаясь к обозначению ν + μ = λ − λ′, получим

lim_{r→+0}(sh(r))^{2ν+μ−1}P_{ν,μ}f(r) = −\frac{2^{ν+μ−1}Γ (ν + μ − \frac{1}{2})}{Γ (\frac{1}{2})}g′(0).

Отметим, что в изложенных выше рассуждениях использовали соотношение

(2n − 1)!! = \frac{2^{n}Γ (n + \frac{1}{2})}{Γ (\frac{1}{2})}.

Рассмотрим случай ν + μ = \frac{1}{2}. Так как дальнейшие выкладки ограничиваются использованием случая ν ⩾ \frac{1}{2} и целых μ ⩾ 0, то достаточно рассмотреть случай ν = \frac{1}{2} и μ = 0, т.е.

P_{\frac{1}{2},0}f(r) = \frac{1}{Γ (\frac{1}{2})} ∫_{r}^{∞}(ch(ρ) − ch(r))^{−\frac{1}{2}}Dg(ρ)dρ.

P_{\frac{1}{2},0}f(r) = \frac{1}{Γ (\frac{1}{2})} (∫_{r}^{R} + ∫_{R}^{∞}) = \frac{1}{Γ (\frac{1}{2})} ∫_{r}^{R}(ch(ρ) − ch(r))^{−\frac{1}{2}}Dg(ρ)dρ + ... .

Многоточием обозначены ограниченные вплоть до r = 0 функции.

P_{\frac{1}{2},0}f(r) = \frac{1}{Γ (\frac{1}{2})} ∫_{r}^{R}(ρ^{2} − r^{2})^{−\frac{1}{2}}T (r, ρ)Dg(ρ)dρ + ... ,

где функция

T (r, ρ) = \sqrt{\frac{ρ^{2} − r^{2}}{ch(ρ) − ch(r)}}

бесконечно дифференцируема при r, ρ ∈ [0, R]. Поэтому имеет место равенство

T (r, ρ)Dg(ρ) = T (r, 0)Dg(0) + O(ρ). Значит,

P_{\frac{1}{2},0}f(r) = \frac{T (r, 0)Dg(0)}{Γ (\frac{1}{2})} ∫_{r}^{R}(ρ^{2} − r^{2})^{−\frac{1}{2}}dρ + ... = | \begin{matrix}ρ = rt, \\ dρ = rdt \end{matrix} | =

= \frac{T (r, 0)Dg(0)}{Γ (\frac{1}{2})} ∫_{1}^{\frac{R}{r}}(t^{2} − 1)^{−\frac{1}{2}}dt + ... .

Выделим главный член на бесконечности. Имеем:

\frac{1}{\sqrt{t^{2} − 1}} − \frac{1}{t} + \frac{1}{t} = \frac{t − \sqrt{t^{2} − 1}}{t\sqrt{t^{2} − 1}} + \frac{1}{t} = \frac{1}{t\sqrt{t^{2} − 1} (t + \sqrt{t^{2} − 1})} + \frac{1}{t}.

Отсюда

P_{\frac{1}{2},0}f(r) = \frac{T (r, 0)Dg(0)}{Γ (\frac{1}{2})} ∫_{1}^{\frac{R}{r}} \frac{dt}{t} + ... = \frac{T (r, 0)Dg(0)}{Γ (\frac{1}{2})} ln \frac{R}{r} + ... =

= −\frac{T (r, 0)Dg(0)}{Γ (\frac{1}{2})} ln r + ... .

Так как

lim_{r→+0} T (r, 0) = lim_{r→+0} \sqrt{\frac{r^{2}}{ch(r) − 1}} = \sqrt{2},

то

lim_{r→+0} \frac{1}{ln r}P_{\frac{1}{2},0}f(r) = −\frac{\sqrt{2}}{Γ (\frac{1}{2})} Dg(0).

Так как th(r/2) ∼ r/2 при r → 0 и Γ (\frac{1}{2}) = \sqrt{π}, то справедливо Следствие 1.4.1. Пусть ν ⩾ \frac{1}{2}, целое μ ⩾ 0 и функция f ∈ C^{∘}^{∞}[0, ∞).

Тогда справедливы следующие предельные соотношения:

lim_{r→+0} th^{2ν+μ−1}(r/2)P_{ν,μ}f(r) = −\frac{Γ (ν + μ − \frac{1}{2})}{2^{ν}\sqrt{π}} I^{ν+μ−1}f(r)|_{r=+0}

при ν + μ > \frac{1}{2} и

lim_{r→+0} \frac{1}{ln \frac{1}{th(r/2)}} P_{\frac{1}{2},0}f(r) = −\sqrt{\frac{2}{π}} I^{−\frac{1}{2}}f(r)|_{r=+0}

при ν = \frac{1}{2}, μ = 0.

Функциональные пространства

В этой главе мы изучим функциональные пространства, содержащие функции с существенными особенностями. Такие пространства мы условно будем называть сингулярными. Их теория рассматривается в одномерном случае, то есть для функций одной переменной, а также в двумерном – для функций двух переменных. Для этого нам потребуются широко известные функциональные пространства Соболева–Никольского–Бесова, краткие сведения о которых изложены в первом разделе, причем некоторые из них, возможно, являются новыми.

Кроме того в этой главе один раздел посвящен изучению некоторых свойств гармонических в пространстве Лобачевского функций.

2.1. О функциональных пространствах Соболева-Никольского-Бесова

2.1.1. Одномерный случай

Обозначим через H^{∘}^{s}(ε, R), где целое s ⩾ 0, 0 ⩽ ε < R < ∞, обобщенное замыкание класса функций C^{∘}^{∞}[ε, R) в L_{2}(ε, R) по норме

∥f∥_{H^{∘}^{s}(ε,R)} = ∥D^{s}f∥_{L_{2}(ε,R)} = ∥I^{−s}f∥_{L_{2}(ε,R)}. (2.1.1)

Здесь L_{2}(ε, R) - лебегово пространство с нормой

∥g(r)∥_{L_{2}(ε,R)}^{2} = ∫_{ε}^{R} |g(r)|^{2}dr.

Кружочек вверху в обозначении введенных пространств означает по классическим теоремам о следах, что производные D^{k}f(r) функций из пространства H^{∘}^{s}(ε, R) в правом конце, т.е. при r = R, обращаются в нуль при всех k = 0, 1, ... , s − 1.

Пространство H^{∘}^{s}(ε, R) представляет собой один из вариантов пространств Соболева-Никольского-Бесова.

В ряде случаев нам будет удобнее использовать при четном s норму, эквивалентную норме (2.1.1),

∥f∥_{H^{∘}^{s}(0,R),ν} = ∥(D^{2} − ν^{2})^{\frac{s}{2}}f∥_{L_{2}(0,R)}, (2.1.2)

где ν ∈ ℂ.

Эквивалентность таких норм на самом деле имеет место в гораздо более общем случае, о чем свидетельствует

Лемма 2.1.1. Пусть s ∈ ℕ и P (t) – произвольный многочлен степени s. Тогда на пространстве H^{∘}^{s}(0, R), 0 < R < ∞, норма ∥P (D)f∥_{L_{2}(0,R)} эквивалентна исходной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть λ_{k} – корни многочлена P, среди которых могут быть и совпадающие, и пусть P_{k}(D) = D − λ_{k}. Тогда

P = ∏_{k} P_{k}.

Введем интегральные операторы

P_{k}^{−1}g(r) = −e^{λ_{k}r} ∫_{r}^{∞}e^{−λ_{k}t}g(t)dt.

Любую производную D^{l}f, l ⩽ s, функции f ∈ C^{∘}^{∞}[0, R) можно разложить на линейную комбинацию произведений операторов P_{k}:

D^{l}f = ∑_{m} a_{m} (∏_{m}P_{k}) f,

где ∏_{m} обозначает произведение не более l сомножителей, которыми являются операторы из множества {P_{k}}. Поэтому имеем

D^{l}f = (∑ a_{m}(∏_{m}P_{k}))(∏ P_{k}^{−1})P (D)f =

= (∑ a_{m} (∏′_{m}P_{k}^{−1})) P (D)f = IP (D)f,

где ∏′_{m} обозначает некоторое произведение операторов {P_{k}^{−1}}. Так как I есть интегральный оператор с гладким ядром, то справедлива оценка

∥D^{l}f∥_{L_{2}(0,R)} ⩽ const ∥P (D)f∥_{L_{2}(0,R)}, которая и доказывает лемму.

Таким образом существует постоянная C_{s,R,ν} > 0 такая, что для любой функции f ∈ H^{∘}^{s}(0, R) справедлива двухсторонняя оценка

\frac{1}{C_{s,R,ν}} ∥f∥_{H^{∘}^{s}(0,R),ν} ⩽ ∥f∥_{H^{∘}^{s}(0,R)} ⩽ C_{s,R,ν}∥f∥_{H^{∘}^{s}(0,R),ν}. (2.1.3)

Обозначим через H^{∘}_{loc}^{s}(0, R) обобщенное замыкание множества C^{∘}∞_{{0}}(0, R), состоящего из всех бесконечно дифференцируемых на интервале (0, R) функций, обращающихся в нуль в левой полуокрестности (своей для каждой функции) точки R, по топологии, порожденной системой для любых 0 < ε < R полунорм

p_{ε,s}(f) = ∥D^{s}f∥_{L_{2}(ε,∞)} = ∥f∥_{H^{∘}^{s}(ε,R)}.

Отметим, что функции из этого пространства могут иметь произвольную особенность в левом конце, т.е. при r = 0.

Пространство H^{∘}_{loc}^{s}(0, R) полинормировано, однако на нем топология, порожденная счетным набором полунормам p_{R/n,s}, n = 2, 3, ..., равносильна исходной, поэтому это пространство является пространством Фреше (полным счетно-нормируемым пространством).

2.1.2. Двумерный случай

Пусть Ω - ограниченная область в плоскости Лобачевского ℍ^{2} с гладкой границей ∂Ω. Разместим начало геодезической полярной системы координат O в одной из точек Ω и будем считать эту точку особой, в ней решение рассматриваемой далее задачи имеет сингулярность. Условимся, что все используемые в дальнейших рассуждениях геодезические круги имеют центр в точке O.

Обозначим через Ω_{O} область Ω\{O}, то есть область Ω с выколотой точкой O. Пусть число R_{0} такое, что имеет место вложение \overline{U}_{2R_{0}} ⊂ Ω, где U_{2R_{0}} – открытый геодезический круг радиуса 2R_{0}, а \overline{U}_{2R_{0}} – его замыкание. При этом, не ограничивая общности, мы будем в дальнейшем считать, что 2R_{0} ⩽ 1.

Выберем меру dℍ на многообразии ℍ^{2} таким образом, чтобы в любом круге U_{R}, 0 < R ⩽ ∞, имело место равенство

∫_{U_{R}} g dℍ = ∫_{0}^{2π}∫_{0}^{R} g(r, φ) sh(r) dr dφ. (2.1.4)

В пространстве Лебега L_{2}(Ω) зададим норму

∥f∥_{L_{2}(Ω)} = \sqrt{∫_{Ω} |f|^{2}dΩ,}

где мы полагаем, что мера dΩ = dℍ.

На любой ограниченной области Ω ⊂ ℍ^{2} функциональные пространства Соболева-Никольского-Бесова H^{s}(Ω) при четном s ⩾ 0 можно ввести одним из эквивалентных способов, производя обобщенное замыкание в лебеговом пространстве L_{2}(Ω) множества C^{∞}(\overline{Ω}), состоящего как обычно из бесконечно дифференцируемых в замыкании \overline{Ω} области Ω функций, по норме, которую можно ввести, например, по формуле

∥f∥_{H^{s}(Ω)}^{2} = ∥f∥_{L_{2}(Ω)}^{2} + ∥Δ^{\frac{s}{2}}f∥_{L_{2}(Ω)}^{2}. (2.1.5) Реализация Пуанкаре плоскости Лобачевского ℍ^{2} сводится к верхней полуплоскости y > 0 евклидовой плоскости 0xy = ℝ^{2}. В декартовых координатах используемых выше оператор Лапласа-Бельтрами Δ = Δ_{ℝ} имеет вид (см. [93], [105])

Δ = Δ_{ℝ} = y^{2} (\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}}{∂y^{2}}) . (2.1.6)

Тот же оператор Δ = Δ_{ℍ} в геодезических полярных координатах r>0, 0 ⩽ φ ⩽ 2π имеет вид

Δ = Δ_{ℍ} = \frac{∂^{2}}{∂r^{2}} + cth(r)\frac{∂}{∂r} + \frac{1}{sh^{2}(r)} \frac{∂^{2}}{∂φ^{2}}. (2.1.7)

Пространство H^{∘}^{s}(Ω) определяется как замыкание в H^{s}(Ω) множества C^{∘}^{∞}(Ω) ⊂ H^{s}(Ω). В пространстве H^{∘}^{s}(Ω) мы будем использовать эквивалентную норме (2.1.5) норму

∥f∥_{H^{∘}^{s}(Ω)}^{2} = ∥Δ^{\frac{s}{2}}f∥_{L_{2}(Ω)}^{2}. (2.1.8)

2.2. Сингулярные функциональные пространства в одномерном случае

2.2.1. Основные понятия

Введем новое пространство H^{∘}_{ν,μ}^{s}(0, R). Обозначим через C^{∘}_{ν,μ}^{∞}(0, R) множество функций f, допускающих представление f = P_{ν,μ}g, в котором g ∈ C^{∘}^{∞}[0, R), т.е. C^{∘}_{ν,μ}^{∞}(0, R) = P_{ν,μ}C^{∘}^{∞}[0, R). На множестве C^{∘}_{ν,μ}^{∞}(0, R) введем норму

||f||_{H^{∘}_{ν,μ}^{s}(0,R)} = \frac{1}{s_{ν,μ}}∥S_{ν,μ}f∥_{H^{∘}^{s}(0,R)}, (2.2.9)

где s_{ν,μ} > 0 - некоторый нормирующий множитель, точное значение которого мы выберем несколько позже.

На любом отрезке [ε, R] оператор S_{ν,μ} и обратный к нему P_{ν,μ} можно интерпретировать как оператор Вольтерра второго рода с гладкими ядрами. Следовательно, эти операторы ограничены в любом пространстве H^{∘}^{s}(ε, R). Отсюда следует оценка

∥f∥_{H^{∘}^{s}(ε,R)} = ∥P_{ν,μ}S_{ν,μ}f∥_{H^{∘}^{s}(ε,R)} ⩽ c_{1}∥S_{ν,μ}f∥_{H^{∘}^{s}(ε,R)} ⩽ c_{1}∥S_{ν,μ}f∥_{H^{∘}^{s}(0,R)},

где постоянная c_{1} > 0 не зависит от f, т.е. топология в H^{∘}_{loc}^{s}(0, R) слабее топологии, задаваемой нормой (2.2.9).

Проверим согласованность (понятие согласованности топологий и связанное с ним понятие обобщенного замыкания изложены, например, в [40]) этих двух топологий. Пусть последовательность {f_{n}} ⊂ C^{∘}_{ν,μ}^{∞}(0, R) фундаментальна по норме (2.2.9). Это означает, что последовательность {S_{ν,μ}f_{n}} фундаментальна в H^{∘}^{s}(0, R) и поэтому сходится в H^{∘}^{s}(0, R) к некоторой функции g ∈ H^{∘}^{s}(0, R). Пусть, кроме того, последовательность {f_{n}} сходится к нулю в H^{∘}_{loc}^{s}(0, R). Так как

∥f_{n} −P_{ν,μ}g∥_{H^{∘}^{s}(ε,R)} = ∥P_{ν,μ}S_{ν,μ}f_{n} −P_{ν,μ}g∥_{H^{∘}^{s}(ε,R)} = ∥P_{ν,μ}(S_{ν,μ}f_{n} −g)∥_{H^{∘}^{s}(ε,R)} ⩽

⩽ c_{2}∥S_{ν,μ}f_{n} − g∥_{H^{∘}^{s}(ε,R)},

где c_{2} не зависит от f_{n} и g, то {f_{n}} сходится в H^{∘}_{loc}^{s}(0, R) к P_{ν,μ}g. Следовательно, P_{ν,μ}g = 0, а,значит, g = 0, так как нуль-пространство оператора Вольтерра второго рода всегда тривиально. Таким образом, установлена согласованность топологий. Теперь можно отождествить пополнение C^{∘}_{ν,μ}^{∞}(0, R) по норме с его обобщенным замыканием в H^{∘}_{loc}^{s}(0, R), которое мы и будем считать пространством H^{∘}_{ν,μ}^{s}(0, R). Итак, доказана

Теорема 2.2.1. Имеет место непрерывное вложение

H^{∘}_{ν,μ}^{s}(0, R) ⊂ H^{∘}_{loc}^{s}(0, R).

В описанном пространстве лежат "сингулярные" решения краевой задачи, рассматриваемой в третьей главе. "Регулярные" же решения лежат в более узком пространстве, которое мы сейчас и изучим.

Обозначим через C^{∘}_{μ,+}^{∞}(0, R) множество функций вида sh^{μ}(r)f(r), где f ∈ C^{∘}_{+}^{∞}[0, R) (напомним, что множество "четных"функций C^{∘}_{+}^{∞}[0, R) было введено в пункте 1.1.2). В других обозначениях C^{∘}_{μ,+}^{∞}(0, R) = sh^{μ} C^{∘}_{+}^{∞}[0, R).

Если функция f ∈ C^{∘}_{μ,+}^{∞}(0, R), то её образ - функция S_{ν,μ}f ∈ C^{∞}[0, R), что следует из представлений (1.2.21), (1.2.18) и из того, что оператор J^{λ} при любых λ ∈ ℂ отображает множество функций C^{∘}_{+}^{∞}[0, R) в себя. Поэтому f = P_{ν,μ}S_{ν,μ}f ∈ C^{∘}_{ν,μ}^{∞}(0, R), т.е. имеет место теоретико-множественное вложение C^{∘}_{μ,+}^{∞}(0, R) ⊂ C^{∘}_{ν,μ}^{∞}(0, R). При четных значениях s обозначим через H^{∘}_{ν,μ,+}^{s}(0, R) обобщенное замыкание в H^{∘}_{loc}^{s}(0, R) множества функций f ∈ C^{∘}_{μ,+}^{∞}(0, R) по норме

∥f∥_{H^{∘}_{ν,μ,+}^{s}(0,R)}^{2} = ∥(B_{ν,μ})^{\frac{s}{2}}f∥_{L_{2,ν}(0,R)}^{2} = ∫_{0}^{R} |Bν,μ^{\frac{s}{2}}f(r)|^{2} sh^{2ν}(r) dr.

Выберем теперь значение введенного выше нормирующего множителя s_{ν,μ} = s_{ν,μ}(R) как нормы оператора S_{ν,μ}, действующего из пространства L_{2,ν}(0, R) в пространство L_{2}(0, R), то есть положим

s_{ν,μ} = sup_{0≠f∈L_{2,ν}(0,R)} \frac{∥S_{ν,μ}f∥_{L_{2}(0,R)}}{∥f∥_{L_{2,ν}(0,R)}} = sup_{0≠f∈C^{∘}_{μ,+}^{∞}(0,R)} \frac{∥S_{ν,μ}f∥_{L_{2}(0,R)}}{∥f∥_{L_{2,ν}(0,R)}}.

Второе равенство справедливо, поскольку множество C^{∘}_{μ,+}^{∞}(0, R) всюду плотно в пространстве L_{2,ν}(0, R). Отметим, что при 0 < R < 1 справедлива оценка

s_{ν,μ} = s_{ν,μ}(R) ⩽ a^{μ+ν} (2.2.10) с некоторой абсолютной постоянной a > 0 (см. следствие 1.3.1).

Нам потребуется вспомогательная

Лемма 2.2.1. Если f ∈ C^{∘}_{μ,+}^{∞}(0, R), то при любом натуральном l

(B_{ν,μ})^{l}f ∈ C^{∘}_{μ,+}^{∞}(0, R), т. е. (B_{ν,μ})^{l}C^{∘}_{μ,+}^{∞}(0, R) ⊂ C^{∘}_{μ,+}^{∞}(0, R).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f ∈ C^{∘}_{μ,+}^{∞}(0, R). Это по определению означает, что g = sh^{−μ} f ∈ C^{∘}_{+}^{∞}(0, R). По формуле (1.2.14) имеем

(B_{ν,μ})^{l}f = (B_{ν,μ})^{l} sh^{μ} g = sh^{μ}(B_{ν+μ,0} + μ(μ + 2ν))^{l}g. Нетрудно видеть, что

(B_{ν+μ,0}+μ(μ+2ν))g ∈ C^{∘}_{+}^{∞}(0, R) ⇒ (B_{ν+μ,0}+μ(μ+2ν))^{l}g ∈ C^{∘}_{+}^{∞}(0, R) ∀l ∈ ℕ.

Лемма доказана.

Лемма 2.2.2. Для f ∈ C^{∘}_{μ,+}^{∞}(0, R) имеем оценку

∥f∥_{H^{∘}_{ν,μ}^{s}(0,R)} ⩽ c_{s,ν}∥(B_{ν,μ})^{\frac{s}{2}}f∥_{L_{2,ν}(0,R)}.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть f ∈ C^{∘}_{μ,+}^{∞}(0, R), тогда

∥f∥_{H^{∘}_{ν,μ}^{s}(0,R)} = \frac{1}{s_{ν,μ}}∥S_{ν,μ}f∥_{H^{∘}^{s}(0,R)} ⩽

(по оценке (2.1.3))

⩽ \frac{c_{s,ν}}{s_{ν,μ}}∥(D^{2} − ν^{2})^{\frac{s}{2}}S_{ν,μ}f∥_{L_{2}(0,R)} =

(по формуле (1.2.22))

= \frac{c_{s,ν}}{s_{ν,μ}}∥S_{ν,μ}(B_{ν,μ})^{\frac{s}{2}}f∥_{L_{2}(0,R)} ⩽ c_{s,ν}∥(B_{ν,μ})^{\frac{s}{2}}f∥_{L_{2,ν}(0,R)}.

Проведенные выше выкладки и абстрактная схема [40] позволяют сформулировать теорему

Теорема 2.2.2. Имеет место непрерывное включение

H^{∘}_{ν,μ,+}^{s}(0, R) ⊂ H^{∘}_{ν,μ}^{s}(0, R)

и справедлива оценка

∥f∥_{H^{∘}_{ν,μ}^{s}(0,R)} ⩽ c∥f∥_{H^{∘}_{ν,μ,+}^{s}(0,R)}.

2.2.2. Теорема о весовых следах Определим весовую функцию σ_{ν,μ}(r), где ν ⩾ \frac{1}{2}, μ ⩾ 0, по формуле

σ_{ν,μ}(r) = \{ \begin{matrix}th^{2ν+μ−1}(r/2), & если ν + μ > \frac{1}{2}, \\ \frac{1}{ln(1/ th(r/2))}, & если ν = \frac{1}{2}, μ = 0. \end{matrix}

Предел

σ_{ν,μ}f|_{r=0} = lim_{r→+0} σ_{ν,μ}(r)f(r) (2.2.11)

назовем (весовым) σ_{ν,μ}–следом функции f(r) в точке r = 0.

В дальнейшем функция f будет непрерывной в некоторой правой полуокрестности нуля, за исключением, возможно, самого нуля, что будет обеспечивать однозначность определения функции σ_{ν,μ}f в каждой точке указанной полуокрестности и тем самым – корректность постановки вопроса о существовании предела в (2.2.11).

Теорема 2.2.3. [Прямая теорема о σ_{ν,μ}–следе] Пусть 2ν ∈ ℕ, μ ∈ ℕ_{0} = ℕ ∪ {0}, s ⩾ 2, R ∈ (0, 1). Тогда

1) для любой функции f ∈ H^{∘}_{ν,μ}^{s}(0, R) существует σ_{ν,μ}–след в точке r = 0 и справедлива оценка

|σ_{ν,μ}f|_{r=0}| ⩽ C_{s,ν,R}(aR)^{μ}∥f∥_{H^{∘}_{ν,μ}^{s}(0,R)}, (2.2.12)

где a > 0 - абсолютная постоянная, C_{s,ν,R} > 0 - постоянная, зависящая только от s, ν, R;

2) для любой функции f ∈ H^{∘}_{ν,μ,+}^{s}(0, R) σ_{ν,μ}–след в точке r = 0 существует и равен нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для начала отметим, что гладкость функций из пространств H^{∘}_{ν,μ}^{s}(0, R) и H^{∘}^{s} при r > 0 одинакова, а при s ⩾ 1, как хорошо известно, функции из последнего пространства типа Соболева–Никольского– Бесова непрерывны после их исправления при необходимости на множестве меры нуль [79]. Поэтому постановка вопроса о существовании предела в (2.2.11) корректна.

1) Достаточно рассмотреть случай f ∈ C^{∘}_{ν,μ}^{∞}(0, R). Для таких функций по следствию 1.4.1 при ν + μ > \frac{1}{2}, s ⩾ 1 имеем

lim_{r→+0} th^{2ν+μ−1}(r/2)f(r) = lim_{r→+0} th^{2ν+μ−1}(r/2)P_{ν,μ}S_{ν,μ}f(r) =

= \frac{(−1)^{[ν+μ]−2}Γ (ν + μ − \frac{1}{2})}{2^{ν}\sqrt{π}} (I^{ν+μ−1}S_{ν,μ})f(r)|_{r=+0} =

= \frac{(−1)^{[ν+μ]−2}Γ (ν + μ − \frac{1}{2})}{2^{ν}\sqrt{π}} (I^{ν+μ+s−1}I^{−s}S_{ν,μ})f(r)|_{r=+0} =

= \frac{(−1)^{[ν+μ]−2}Γ (ν + μ − \frac{1}{2})}{2^{ν}\sqrt{π} Γ(ν + μ + s − 1)} ∫_{0}^{R} r^{ν+μ+s−2}(I^{−s}S_{ν,μ})f(r)dr,

Используя неравенство Коши-Буняковского, получаем оценку

| lim_{r→+0} th^{2ν+μ−1}(r/2)f(r)| ⩽

⩽ \frac{Γ (ν + μ − \frac{1}{2})}{2^{ν}\sqrt{π} Γ(ν + μ + s − 1)} (∫_{0}^{R} r^{2ν+2μ+2s−4}dr)^{\frac{1}{2}} ||I^{−s}S_{ν,μ}f||_{L_{2}(0,R)} =

= \frac{Γ (ν + μ − \frac{1}{2}) R^{ν+μ+s−\frac{3}{2}}s_{ν,μ}}{2^{ν}\sqrt{π} Γ(ν + μ + s − 1)\sqrt{2ν + 2μ + 2s − 3}} ∥f∥_{H^{∘}_{ν,μ}^{s}(0,R)}.

Учитывая теперь известную асимптотическую формулу [4]

\frac{Γ(x + α)}{Γ(x + β)} ∼ x^{α−β} при x → +∞,

мы приходим к оценке (2.2.12).

При ν = \frac{1}{2}, μ = 0 аналогично имеем

lim_{r→+0} \frac{1}{ln(1/ th(r/2))} f(r) = lim_{r→+0} \frac{1}{ln(1/ th(r/2))} P_{\frac{1}{2},0}S_{\frac{1}{2},0}f(r) =

= \begin{matrix}√ & \overline{2} \\ √ & \overline{π} \end{matrix} I^{−\frac{1}{2}}S_{\frac{1}{2},0}f(r)|_{r=+0} = \begin{matrix}√ & \overline{2} \\ √ & \overline{π} \end{matrix} I^{s−\frac{1}{2}}I^{−s}S_{\frac{1}{2},0}f(r)|_{r=+0} =

= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{π} Γ (s − \frac{1}{2})} ∫_{0}^{R} r^{s−\frac{3}{2}}I^{−s}S_{\frac{1}{2},0}f(r)dr.

Поэтому

| lim_{r→+0} \frac{1}{ln(1/ th(r/2))} f(r)| ⩽

⩽ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{π} Γ (s − \frac{1}{2})} (∫_{0}^{R} r^{2s−3}dr)^{\frac{1}{2}} ∥I^{−s}S_{\frac{1}{2},0}f∥_{L_{2}(0,R)} =

= \frac{\sqrt{2}R^{s−1}s_{\frac{1}{2},0}}{\sqrt{π}\sqrt{2s − 2}} ∥f∥_{H^{∘}_{\frac{1}{2} ,0}^{s}(0,R)},

что также приводит к оценке (2.2.12).

2) По определению в пространстве H^{∘}_{ν,μ,+}^{s}(0, R) всюду плотно множество функций f ∈ C^{∘}_{μ}^{∞}(0, R), а для них σ_{ν,μ}–след, очевидно, равен нулю.

Теорема доказана.

2.3. Разложение гармонических функций по угловым гармоникам

Результаты этого раздела будут использованы в следующем разделе этой главы, а также в теории краевых задач, изучаемых в третьей главе. В дальнейшем мы будем считать ν = \frac{1}{2}. Это отвечает рассмотрению областей и краевых задач в двумерном гиперболическом пространстве ℍ^{2} – плоскости Лобачевского. В связи с этим будем использовать сокращенные обозначения для уже введенных функциональных пространств, дифференциальных операторов, операторов преобразования, весовой функции и константы, полагая

\begin{matrix}H^{∘}_{1/2,μ}^{s}(0, R) ≡ H^{∘}_{μ}^{s}(0, R), C^{∘}_{1/2,μ}^{∞}(0, R)≡C^{∘}_{μ}^{∞}(0, R), & H^{∘}_{1/2,μ,+}^{s}(0, R)≡H^{∘}_{μ,+}^{s}(0, R), \\ B_{\frac{1}{2},μ} ≡ B_{μ} = D^{2} + cth(r)D − \frac{μ^{2}}{sh^{2}(r)}, & S_{\frac{1}{2},μ}^{\frac{1}{2}+μ} ≡ S_{μ}^{\frac{1}{2}+μ}, S_{\frac{1}{2},μ} ≡ S_{μ}, \\ s_{\frac{1}{2},μ} ≡s_{μ}, c_{s,\frac{1}{2}} ≡ c_{s}, σ_{\frac{1}{2},μ} ≡ σ_{μ}, & P_{\frac{1}{2},μ}^{\frac{1}{2}+μ} ≡ P_{μ}^{\frac{1}{2}+μ}, P_{\frac{1}{2},μ} ≡ P_{μ}. \end{matrix}

Функция v, определенная на некоторой области G ⊂ ℍ^{2}, называется гармонической в этой области, если в G Δv = 0. Предполагая выполнение этого равенства для дважды дифференцируемой в классическом смысле функции v и даже в смысле теории распределений, мы в силу общей теории эллиптических уравнений с аналитическими коэффициентами заключаем, что на самом деле гармоническая функция является бесконечно дифференцируемой и даже (вещественно) аналитической в своей области гармоничности.

Лемма 2.3.1. При μ ∈ ℂ базис линейного пространства решений однородного дифференциального уравнения B_{μ}u(r) = 0 составляют две функции: в случае μ ≠ 0 – функции th^{±μ}(r/2), а в случае μ = 0 – функции 1 и ln \frac{1}{th(r/2)}.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сначала μ ≠ 0, тогда дважды используя равенство sh(r)D_{r}(th^{±μ}(r/2)) = ±μ th^{±μ}(r/2) и формулу sh^{−1}(r)D_{r} sh(r)D_{r} = D_{r}^{2} + cth(r)D_{r}, имеем

(D_{r}^{2} + cth(r)D_{r}) th^{±μ}(r/2) = (sh^{−1}(r)D_{r} sh(r)D_{r}) th^{±μ}(r/2) =

= ±μ sh^{−1}(r)D_{r} th^{μ}(r/2) = (±μ)^{2} sh^{−2}(r) th^{±μ}(r/2) =

= μ^{2} sh^{−2}(r) th^{±μ}(r/2), что доказывает формулу B_{μ} th^{±μ}(r/2) = 0 в рассматриваемом случае.

Далее, по тем же соображениям

B_{0} ln(th(r/2)) = (sh^{−1}(r)D_{r} sh(r)D_{r}) ln(th(r/2)) =

= sh^{−1}(r)D_{r} \frac{sh(r)}{2 th(r/2) ch^{2}(r/2)} = sh^{−1}(r)D_{r} \frac{2 sh(r/2) ch^{2}(r/2)}{2 sh(r/2) ch^{2}(r/2)} =

= sh^{−1}(r)D_{r}1 = 0, а равенство B_{0}1 = 0 просто очевидно. Лемма доказана.

Лемма 2.3.2. Пусть функция f достаточно гладкая в некотором геодезическом круге U_{R} \ {O} радиуса R > 0 с выколотым центром, например, принадлежит классу C^{∞}(U_{R}\{O}). Тогда для ее лапласиана Δ_{ℍ}f справедливо представление

Δ_{ℍ}f(r, φ) = ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}}(B_{k}f_{k}^{l})(r)Y_{k}^{l}(φ), (2.3.13)

где f_{k}^{l} - коэффициенты разложения функции в ряд Фурье

f_{k}^{l}(r) = ∫_{0}^{2π}f(r, φ)Y_{k}^{l}(φ) dφ,

по угловым гармоникам

Y_{k}^{l}(φ) = \begin{cases}\frac{1}{\sqrt{π}} cos(kφ), & если l = 1, k > 0, \\ \frac{1}{\sqrt{π}} sin(kφ), & если l = 2, k > 0, \\ \frac{1}{\sqrt{2π}}, & если k = 0, \end{cases}

числа d_{k} определяются соотношениями

d_{k} = \begin{cases}1, & если k = 0, \\ 2, & если k > 0. \end{cases}

Этот ряд сходится абсолютно и равномерно вместе со всеми производными на любом компакте из U_{R} \ {O}.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В условиях леммы ряд Фурье в разложении функции

f(r, φ) = ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} f_{k}^{l}(r)Y_{k}^{l}(φ)

быстро сходится, что обеспечивает возможность почленного дифференцирования, поэтому имеем

Δ_{ℍ}f(r, φ) = ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} Δ_{ℍ}(f_{k}^{l}(r)Y_{k}^{l}(φ)) =

= ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}}[Y_{k}^{l}(φ)(D_{r}^{2} + cth(r)D_{r})f_{k}^{l}(r) + f_{k}^{l}(r)\frac{1}{sh^{2} r}D^{2}Y_{k}^{l}(φ)] =

= ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} (D_{r}^{2} + cth(r)D_{r} − \frac{k^{2}}{sh^{2}(r)}) f_{k}^{l}(r)Y_{k}^{l}(φ) = ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} B_{k}f_{k}^{l}(r)Y_{k}^{l}(φ)

и лемма доказана.

Норму (2.1.8) для Ω = U_{R}, 0 < R < ∞, можно также определить через разложение функций по угловым гармоникам: если

f(r, φ) = ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} f_{k}^{l}(r)Y_{k}^{l}(φ), f_{k}^{l}(r) = ∫_{0}^{2π}f(r, φ′)Y_{k}^{l}(φ′) dφ′,

то

∥f∥_{H^{∘}^{s}(U_{R})}^{2} = ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} ∥B\frac{1}{2},k^{\frac{s}{2}}f_{k}^{l}∥_{L_{2, \frac{1}{2}} (0,R)}^{2} .

В самом деле

∥f∥_{H^{∘}^{s}(Ω)}^{2} =

(по формуле (2.1.8))

= ∥Δ^{\frac{s}{2}}f∥_{L_{2}(U_{r})}^{2} = (по формуле (2.3.13))

= ∥∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} B\frac{1}{2},k^{\frac{s}{2}}f_{k}^{l}Y_{k}^{l}∥_{L_{2}(U_{R})}^{2} =

(по формуле (2.1.4))

= ∫_{0}^{R} ∫_{0}^{2π}|∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} B\frac{1}{2},k^{\frac{s}{2}}f_{k}^{l}(r)Y_{k}^{l}(φ)|^{2} dφ sh(r) dr =

= ∫_{0}^{R} ∥∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} B\frac{1}{2},k^{\frac{s}{2}}f_{k}^{l}(r)Y_{k}^{l}∥_{L_{2}(0,2π)}^{2} sh(r) dr =

(по равенству Парсеваля [49] для ортонормированной в гильбертовом пространстве L_{2}(0, 2π) системы {Y_{k}^{l}})

= ∫_{0}^{R} ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} |B\frac{1}{2},k^{\frac{s}{2}}f_{k}^{l}(r)|^{2} sh(r) dr = ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} ∫_{0}^{R} |B\frac{1}{2},k^{\frac{s}{2}}f_{k}^{l}(r)|^{2} sh(r) dr =

= ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} ∥B\frac{1}{2},k^{\frac{s}{2}}f_{k}^{l}∥_{L_{2, \frac{1}{2}} (0,R)}^{2} .

Из леммы 2.3.2 вытекает

Теорема 2.3.1. Любая гармоническая в геодезическом круге U_{R} \ {O} радиуса R > 0 с выколотым центром функция u(r, φ) разлагается в ряд

u(r, φ)=a_{0}^{1} + b_{0}^{1} ln \frac{1}{th(r/2)}+∑_{k=1}^{∞} ∑_{l=1}^{2}[a_{k}^{l} th^{k}(r/2) + b_{k}^{l} th^{−k}(r/2)]Y_{k}^{l}(φ), (2.3.14)

где числовые последовательности {a_{k}^{l}}, {b_{k}^{l}} таковы, что ряд (2.3.14) сходится абсолютно и равномерно вместе со всеми производными на любом компакте из U_{R} \ {O}, а в остальном – произвольные.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (2.3.13) для гармонических функций имеем

0 = ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}}(B_{k}u_{k}^{l})(r)Y_{k}^{l}(φ).

Тогда из базисности ортонормированной системы угловых гармоник {Y_{k}^{l}} следует, что для любого 0 < r < R справедлива формула (B_{k}f_{k}^{l})(r) = 0. Откуда и из леммы 2.3.1 следует искомая формула (2.3.14). Теорема доказана.

Теорема 2.3.2. Любая гармоническая в геодезическом круге U_{R} \ {O} радиуса R > 0 с выколотым центром функция u(r, φ) разлагается на два гармонических слагаемых u = v+w. При этом "регулярная" (гармоническая во всем круге U_{R} ) функция имеет вид

v(r, φ) = ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} a_{k}^{l} th^{k}(r/2)Y_{k}^{l}(φ), (2.3.15)

где числовая последовательность {a_{k}^{l}} такова, что ряд (2.3.15) сходится абсолютно и равномерно вместе со всеми производными на любом компакте из U_{R}, а в остальном – произвольная, а "сингулярная" (гармоническая в U_{R} \ {O}) функция определяется формулой

w(r, φ) = b_{0}^{1} ln \frac{1}{th(r/2)} + ∑_{k=1}^{∞} ∑_{l=1}^{2} b_{k}^{l} th^{−k}(r/2)Y_{k}^{l}(φ). (2.3.16)

Здесь числовая последовательность {b_{k}^{l}} такова, что ряд (2.3.16) сходится абсолютно и равномерно вместе со всеми производными на любом компакте из U_{R} \ {O}, а в остальном – произвольная.

Д о к а з а т е л ь с т в о состоит из непосредственного соединения результатов предыдущей теоремы 2.3.2 и нижеследующей леммы 2.3.3.

Замечание. Коль скоро ряд (2.3.16) сходится при 0 < r < R, то он на самом деле сходится абсолютно и равномерно вместе со всеми производными на любом компакте из U_{∞} \ {O} = ℍ^{2} \ {O}.

Следующее вспомогательное утверждение в некотором частном случае приведено, например, в [38].

Лемма 2.3.3. Пусть {a_{k}}, {b_{k}} - две числовые последовательности, τ

– некоторое положительное число. Пусть для любых t ∈ (0, τ] и любых натуральных k справедлива оценка

|a_{k}t^{k} + b_{k}t^{−k}| ⩽ C(t) < ∞, (2.3.17) в которой C(t) > 0 не зависит от k. Тогда

1) при любых t > 0 и любых натуральных k справедлива оценка

|b_{k}t^{−k}| ⩽ C_{1}(t) < ∞, (2.3.18) в которой C_{1}(t) > 0 не зависит от k,

2) при любых натуральных k справедлива оценка

|a_{k}τ^{k}| ⩽ C_{2}(τ) < ∞, (2.3.19) в которой C_{2}(τ) > 0 не зависит от k.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Положим Φ_{k}(t) = −a_{k}t^{k}, β_{k}(t) = b_{k}t^{−k}. Тогда, для любого t ∈ (0, τ], β_{k}(t) = Φ_{k}(t) + O(1) при k → ∞. Отсюда получаем

2^{k}β_{k}(t)=β_{k} (\frac{t}{2}) =Φ_{k} (\frac{t}{2})+O(1)=2^{−k}Φ_{k}(t)+O(1) = 2^{−k}(β_{k}(t)+O(1))+O(1),

следовательно,

β_{k}(t)(2^{k} − 2^{−k}) = 2^{−k}O(1) + O(1) при k → ∞. Но последнее возможно, если β_{k}(t), по крайней мере, ограничена для всех k. Таким образом, неравенство

|b_{k}t^{−k}| ⩽ C_{1}(t) < ∞ (2.3.20) доказано при 0 < t ⩽ τ, а при t > τ оно также верно ввиду невозрастания функции |β_{k}(t)| по t.

2) По второму неравенству треугольника и по уже доказанному имеем |a_{k}τ^{k}| ⩽ |b_{k}τ^{−k}| + |a_{k}τ^{k} + b_{k}τ^{−k}| ⩽ C_{2}(τ). Лемма доказана.

2.4. Сингулярные функциональные пространства в двумерном случае

2.4.1. Основные определения

Обозначим через X множество функций χ(r) ∈ C^{∘}_{+}^{∞}[0; ∞) таких, что

χ(r) = \begin{cases}1, & если 0 ⩽ r ⩽ 1, \\ 0, & если r ⩾ 2, \end{cases}

и определим по функции χ функцию χ_{R}, R > 0 формулой χ_{R}(r) = χ(\frac{r}{R}).

Через T^{∘}^{∞}(Ω_{O}) обозначим множество функций f ∈ C^{∞}(\overline{Ω} \ \{O\}) таких, что

χ_{R}f(r, φ) = ∑_{k=0}^{𝒦 (f)} ∑_{l=1}^{d_{k}} χ_{R}(r)f_{k}^{l}(r)Y_{k}^{l}(φ). (2.4.21)

Здесь функции f_{k}^{l} таковы, что (sh r)^{k}f_{k}^{l}(r)χ_{R}(r) ∈ C^{∘}^{∞}[0, 2R_{0}). Натуральное число 𝒦 = 𝒦 (f) свое для каждой функции f.

Для каждого четного s ⩾ 0, каждого вещественного 0 < R < R_{0} и каждой функции χ ∈ X зададим на T^{∘}^{∞}(Ω_{O}) следующую норму:

∥f∥_{s,R} = ( ∑_{k=0}^{𝒦 (f)} ∑_{l=1}^{d_{k}} ∥χ_{R}(r)f_{k}^{l}∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,2R)}^{2} + ∥(1 − χ_{R})f∥_{H^{s}(Ω)}^{2})^{\frac{1}{2}} . (2.4.22)

Здесь и всюду ниже будут использованы пространства H^{∘}_{k}^{s}(0, R), введенные в предыдущем разделе.

Система норм (2.4.22) при всех R ∈ (0, R_{0}) и фиксированном s задает на линейном пространстве T^{∘}^{∞}(Ω_{O}) полинормированную топологию.

Введем пространство H_{loc}^{s}(Ω_{O}), состоящее из функций f таких, что при любом R ∈ (0, R_{0}) справедливо вложение (1 − χ_{R})f ∈ H^{s}(Ω). Наделим это пространство топологией, определяемой семейством полунорм

p_{s,R}(f) = ∥(1 − χ_{R})f∥_{H^{s}(Ω)}, 0 < R < R_{0}.

Легко видеть, что введенная топология превращает H_{loc}^{s}(Ω_{O}) в полное топологическое векторное пространство. Поясним еще, что функции из H_{loc}^{s}(Ω_{O}) обладают вне начала в точности той же гладкостью, что и функции из пространства H^{s}(Ω), а в самом начале (т.е. в точке O) могут иметь произвольную особенность.

2.4.2. Теоремы вложения

Очевидно, что T^{∘}^{∞}(Ω_{O}) ⊂ H_{loc}^{s}(Ω_{O}) и для любой функции f ∈ T^{∘}^{∞}(Ω_{O}) имеет место оценка p_{s,R}(f) ⩽ ∥f∥_{s,R}. Таким образом, это вложение будет топологическим.

Определим теперь основное в работе пространство M^{s}(Ω_{O}), как обобщенное замыкание (см. [40]) по топологии, порожденной системой норм (2.4.22), пространства T^{∘}^{∞}(Ω_{O}). Следовательно, элементами пространства M^{s}(Ω_{O}) являются обычные функции, которые принадлежат классу H_{loc}^{s}(Ω_{O}).

Установим соотношение между пространствами M^{s}(Ω_{O}) и H^{s}(Ω). Обозначим через T^{∘} _{+}^{∞}(Ω) подмножество функций f из T^{∘}^{∞}(Ω_{O}), для которых функции f_{k}^{l} из разложения (2.4.21) удовлетворяют условию r^{−k}f_{k}^{l}χ_{R} ∈

C^{∘}_{+}^{∞}[0; ∞).

Пусть функция f ∈ T^{∘} _{+}^{∞}(Ω). Тогда при любом R ∈ (0, R_{0}) функция χ_{R}f ∈ T^{∘} _{+}^{∞}(U_{2R}). По формуле (2.1.8) и из теоремы 2.2.2 следует, что

∥χ_{R}f∥_{H^{∘}^{s}(U_{2R})}^{2} = ∑_{k=0}^{𝒦 (f)} ∑_{l=1}^{d_{k}} ∥χ_{R}f_{k}^{l}∥_{H^{∘}_{k,+}^{s}(0,2R)}^{2} ⩾ c ∑_{k=0}^{𝒦 (f)} ∑_{l=1}^{d_{k}} ∥χ_{R}f_{k}^{l}∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,2R)}^{2}.

Следовательно,

∥f∥_{s,R}^{2} ⩽ c (∥χ_{R}f∥_{H^{∘}^{s}(U_{2R})}^{2} + ∥(1 − χ_{R})f∥_{H^{s}(Ω)}^{2}) .

Выражение справа является при любом R ∈ (0, R_{0}) квадратом одной из эквивалентных норм пространства H^{s}(Ω). Отсюда и из того, что множество T^{∘} _{+}^{∞}(Ω) всюду плотно в H^{s}(Ω) вытекает

Теорема 2.4.1. Для любого s ⩾ 0 имеет место вложение

H^{s}(Ω) ⊂ M^{s}(Ω_{0}) ⊂ H_{loc}^{s}(Ω_{0}).

Пусть χ, χ′ – две функции множества X. Покажем, что порождаемые ими топологии равносильны.

В самом деле, пусть R′ < \frac{R}{2}. Тогда справедливы следующие два простых неравенства:

∥χ_{R}g∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,2R)} ⩽ ∥χ_{R}χ′_{R′}g∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,2R)} + ∥χ_{R}(1 − χ′_{R′})g∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,2R)} ⩽

⩽ c (∥χ′_{R′}g∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,2R′)} + ∥χ_{R}(1 − χ′_{R′})g∥_{H^{∘}_{k,+}^{s}(0,2R)}) = c∥χ′_{R′}g∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,2R′)}

и

∥(1 − χ_{R})∥_{H^{s}(Ω)} = ∥(1 − χ_{R})(1 − χ′_{R′})f∥_{H^{s}(Ω}) ⩽ c∥(1 − χ′_{R′})f∥_{H^{s}(Ω)}. Из них вытекает оценка

∥f∥_{s,R} ⩽ c∥f∥_{s,R′}. Здесь слева стоит норма, порождаемая функцией χ , справа – функцией χ′. Меняя местами χ и χ′, получаем противоположную оценку. Следовательно, доказана

Лемма 2.4.1. Топологии, порождаемые в пространстве M^{s}(Ω_{O}) различными функциями из X, равносильны.

Лемма 2.4.2. Пространство M^{s}(Ω_{O}) суть полное счетно-нормируемое топологическое пространство, то есть пространство Фреше.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Нетрудно заметить (см. доказательство леммы 2.4.1), что топология, задаваемая любым счетным набором норм ∥ · ∥_{s,R_{m}}, m = 1, 2, , ..., где последовательность R_{m} → +0 при m → ∞, причем R_{m} < R_{0}, будет равносильна исходной.

Теорема 2.4.2. Пусть 0 ⩽ s′ < s′′. Тогда пространство M^{s′′}(Ω_{O}) непрерывно вложено в M^{s′}(Ω_{O}).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку для любой функции g ∈ C^{∘}^{∞}[0, R)

∥g∥_{H^{∘}^{s′}(0,R)} = ∥D^{s′}g∥_{L_{2}(0,R)} ⩽ c(s′′ − s′, R)∥g∥_{H^{∘}^{s′′}(0,R)},

то

∥χ_{R}r^{−k}f_{k}^{l}∥_{H^{∘}_{\frac{n}{2} +k−1}^{s′}(0,2R)} = \frac{1}{s_{μ}}∥S_{k}(χ_{R}r^{−k}f_{k}^{l})∥_{H^{∘}^{s′}(0,R)} ⩽

⩽ c(s′ − s′′, R)∥χ_{R}r^{−k}f_{k}^{l}∥_{H^{∘}_{\frac{n}{2} +k−1}^{s′′}(0,2R)}.

Суммируя эти неравенства по k и l и замечая, что

∥(1 − χ_{R})f∥_{H^{s′}(Ω)} ⩽ c∥(1 − χ_{R})f∥_{H^{s′′}(Ω)}, получаем неравенство ∥f∥_{s′,R} ⩽ c∥f∥_{s′′,R}, в котором постоянная c не зависит от функции f ∈ M^{s′′}(Ω_{O}). Теорема доказана.

2.4.3. Теоремы о следах

Перейдем к изучению следов функции из M^{s}(Ω_{O}) на границе области Ω_{O}, которая состоит из точки O и кривой ∂Ω.

Так как пространство M^{s} вне любой окрестности точки O устроено так же, как и пространство H^{s}, то справедлива

Теорема 2.4.3. Пусть s ⩾ 2. Тогда отображение f → f|_{∂Ω} непрерывно действует из пространства M^{s}(Ω_{O}) в H^{s−\frac{1}{2}}(∂Ω). Существует оператор, непрерывно отображающий H^{s−\frac{1}{2}}(∂Ω) в M^{s}(Ω_{O}) такой, что f|_{∂Ω} = g, где f – образ функции g при этом отображении.^{⋆1)}

Дадим определение следа в граничной точке O ∈ ∂Ω_{O}. Легко видеть, что каким бы большим не было s, обычного следа в точке O у функции f ∈ M^{s}(Ω_{O}), вообще говоря, не существует. Поэтому мы вводим некоторое новое понятие следа, который носит в определенном смысле нелокальный характер.

Обозначим через A(Θ) множество определенных на единичной окружности Θ функций ψ(φ), которые вещественно-аналитичны на Θ и для которых при каждом h ∈ (0, 1) конечны следующие нормы

∥ψ∥_{h} = (∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} |ψ_{k}^{l}|^{2}h^{−2k})^{\frac{1}{2}} , (2.4.23)

где через ψ_{k}^{l} обозначены коэффициенты разложения функции ψ по гармоникам Y_{k}^{l}.^{⋆2)}

Лемма 2.4.3. Пространство A(Θ) является полным счетно-нормируе-мым топологическим пространством.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем полноту. Пусть {ψ^{m}} ⊂ A(Θ) – фундаментальная последовательность. Тогда для любого h ∈ (0, 1) ∥ψ^{m_{1}} −ψ^{m_{2}}∥_{h} → 0 при m_{1}, m_{2} → ∞. Поэтому для каждого h найдется такая функция g_{h}(φ), что ∥g_{h}∥_{h} < ∞ и ∥ψ^{m} − g_{h}∥_{h} → 0 при m → ∞. Из [101] следует, что функция g_{h} аналитична на Θ. Так как ∥ψ∥_{h} ⩽ ∥ψ∥_{h′}, если h < h′, то из условия ∥g_{h′} − ψ^{m}∥_{h′} → 0 следует, что ∥g_{h′} − ψ^{m}∥_{h} → 0 при m → ∞. Следовательно, все функции g_{h} совпадают друг с другом. Эта единственная функция принадлежит, очевидно, пространству A(Θ) и является пределом последовательности ψ^{m} по любой норме (2.4.23). Полнота доказана.

⋆1)Если пространства M^{s}(Ω_{O}) определить для всех вещественных s ⩾ 0, то эта теорема остается справедливой для s > \frac{1}{2} ⋆2)Очевидно, что топология, порождаемая указанной системой норм для всех h > 0 равносильна исходной.

Рассмотрим счетное множество норм ∥ · ∥_{\frac{1}{m}}, m = 2, 3, .... Легко видеть, что определяемая ими топология равносильна исходной. Таким образом, пространство A(Θ) счетно-нормируемо. Лемма доказана.

Отметим, что пространство A(Θ) состоит из тех вещественно-анали-тических функций на окружности Θ, которые допускают ℍ-гармоническое продолжение на всю плоскость ℍ^{2}. По заданной функции

ψ(φ) = ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} ψ_{k}^{l}Y_{k}^{l}(φ) ∈ A(Θ)

такое продолжение определяется по формуле

Ψ(r, φ) = ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} cth^{k}(r/2)ψ_{k}^{l} th^{k}(r/2)Y_{k}^{l}(φ) ≡ ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} cth^{k}(r/2)ψ_{k}^{l}Ψ_{k}^{l}(r, φ),

(2.4.24)

Ψ_{k}^{l}(r, φ) = th^{k}(r/2)Y_{k}^{l}(φ), (2.4.25) где r, φ – геодезические полярные координаты на (гиперболической) плоскости ℍ^{2} с центром в любой точке из этой плоскости.^{⋆3)}

Покажем, что функция Ψ ℍ-гармоническая на всей плоскости ℍ^{2}. Для этого нам потребуется

⋆3)Отметим также, что пространство A(Θ) состоит из тех вещественно-аналитических функций на окружности Θ, которые допускают гармоническое продолжение на всю плоскость ℝ^{2}. По заданной функции ψ ∈ A(Θ) такое продолжение определяется по формуле Ψ_{ℝ}(ϱ, φ) = ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} ϱ^{k}ψ_{k}^{l}Y_{k}^{l}(φ), где ϱ, φ – полярные координаты на плоскости ℝ^{2}. Ясно, что функция Ψ гармоническая на всей плоскости ℝ^{2}.

Лемма 2.4.4. Функция (2.4.25) при любых целых k ⩾ 0 является ℍгармонической на всей плоскости ℍ^{2}.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя ранее доказанное равенство sh(r)D_{r}(th^{k}(r/2)) = k th^{k}(r/2) и

формулу sh^{−1}(r)D_{r} sh(r)D_{r} = D_{r}^{2} + cth(r)D_{r}, имеем ΔΨ_{k}^{l}(r, φ) = (D_{r}^{2} + cth(r)D_{r} + sh^{−2}(r)D_{φ}^{2})Ψ_{k}^{l}(r, φ) =

= Y_{k}^{l}(φ)(D_{r}^{2} + cth(r)D_{r}) th^{k}(r/2) + sh^{−2}(r) th^{k}(r/2)D_{φ}^{2}Y_{k}^{l}(φ) =

= Y_{k}^{l}(φ) (sh^{−1}(r)D_{r} sh(r)D_{r}) th^{k}(r/2) − k^{2} sh^{−2}(r) th^{k}(r/2)Y_{k}^{l}(φ) =

= Y_{k}^{l}(φ) [(sh^{−1}(r)D_{r})(k th^{k}(r/2)) − k^{2} sh^{−2}(r) th^{k}(r/2)] =

= Y_{k}^{l}(φ) [k sh^{−2}(r)(sh(r)D_{r}) th^{k}(r/2) − k^{2} sh^{−2}(r) th^{k}(r/2)] =

= Y_{k}^{l}(φ) [k^{2} sh^{−2}(r) th^{k}(r/2) − k^{2} sh^{−2}(r) th^{k}(r/2)] = 0, что и требовалось доказать.

Теперь доказательство гармоничности функции Ψ из (2.4.24) следует из стандартной теоремы анализа о возможности почленного дифференцирования функционального ряда за счет быстрой (быстрее экспоненты e^{−ak} с любым положительным a) сходимости его коэффициентов cth^{k}(r/2)ψ_{k}^{l} к нулю при k → ∞.

Введем теперь понятие σ-следа. Пусть функция f ∈ T^{∘}^{∞}(Ω_{O}). Это означает, что при r < 2R_{0} имеет место

формула

f(r, φ) = ∑_{k=0}^{𝒦} ∑_{l=1}^{d_{k}} f_{k}^{l}(r)Y_{k}^{l}(φ) (2.4.26)

причем χ_{R}f_{k}^{l} ∈ C^{∘}_{k}^{∞}(0, 2R), 0 < R < R_{0}. Заметим, что сами функции f_{k}^{l}(r) могут иметь особенность в точке r = 0. Пусть r > 0, |φ| < π - геодезические полярные координаты на плоскости ℍ^{2}. Для краткости введем функцию τ(r) = th(r/2). Мы полагаем

σf(r, φ) = \frac{f_{0}^{1}(r)}{ln(1/τ(r))} + ∑_{k=1}^{𝒦} τ^{k}(r) (f_{k}^{1}(r)Y_{k}^{1}(φ) + f_{k}^{2}(r)Y_{k}^{2}(φ)) ,

где коэффициенты Фурье f_{0}^{1}, f_{k}^{1} и f_{k}^{2} пределяются формулами

f_{0}^{1}(r) = ∫_{−π}^{π} f(r, φ′)Y_{0}^{1}(φ′)dφ′ = \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−π}^{π} f(r, φ)dφ′,

f_{k}^{1}(r) = ∫_{−π}^{π} f(r, φ′)Y_{k}^{1}(φ′)dφ′ = \frac{1}{\sqrt{π}} ∫_{−π}^{π} f(r, φ′) cos(kφ′)dφ′,

f_{k}^{2}(r) = ∫_{−π}^{π} f(r, φ′)Y_{k}^{2}(φ′)dφ′ = \frac{1}{\sqrt{π}} ∫_{−π}^{π} f(r, φ′) sin(kφ′)dφ′.

Отсюда, поскольку

f_{k}^{1}(r)Y_{k}^{1}(φ) + f_{k}^{2}(r)Y_{k}^{2}(φ) = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f(r, φ′) cos(k(φ − φ′))dφ′,

имеем

σf(r, φ) = \frac{f_{0}^{1}(r)}{ln(1/τ)} + \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} f(r, φ′) ∑_{k=1}^{∞} τ^{k} cos(k(φ − φ′))dφ′.

Отметим, что при r < 1 имеет место формула

∑_{k=1}^{∞} r^{k} cos(k(φ − φ′)) = \frac{r cos(φ − φ′) − r^{2}}{1 − 2r cos(φ − φ′) + r^{2}}.

Действительно, так как cos(k(φ − φ′)) = Re(e^{ik(φ−φ′)}) и |re^{i(φ−φ′)}| = |r| < 1, то, используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получим

∑_{k=1}^{∞} r^{k} cos(k(φ − φ′)) = ∑_{k=1}^{∞} Re(re^{i(φ−φ′)})^{k} = Re (\frac{re^{i(φ−φ′)}}{1 − re^{i(φ−φ′)}}) =

= Re (\frac{re^{i(φ−φ′)}(1 − re^{−i(φ−φ′)})}{(1 − re^{i(φ−φ′)})(1 − re^{−i(φ−φ′)})}) =

= Re (\frac{re^{i(φ−φ′)} − r^{2}}{1 − r(e^{i(φ−φ′)} + e^{−i(φ−φ′)}) + r^{2}}) =

= Re (\frac{re^{i(φ−φ′)} − r^{2}}{1 − 2r cos(φ − φ′) + r^{2}}) = \frac{r cos(φ − φ′) − r^{2}}{1 − 2r cos(φ − φ′) + r^{2}}.

Следовательно, σ-след можно определить и по формуле

σf|_{O} = lim_{r→+0} ∫_{−π}^{π} Σ(r, φ)f(r, φ′)dφ′,

где ядро Σ соответствующего интегрального оператора имеет вид

Σ(r, φ) = \frac{1}{2π} (\frac{2τ(r) cos(φ − φ′) − 2τ^{2}(r)}{1 − 2τ(r) cos(φ − φ′) + τ^{2}(r)} + \frac{\sqrt{2π}}{ln(1/τ(r))}) .

Распространим понятие σ-следа на функции f ∈ M^{s}(Ω_{O}). Для всех функций f^{j} ∈ T^{∘}^{∞}(Ω_{O}), j = 1, 2, ..., сходящихся к f при j → ∞ по топологии пространства M^{s}(Ω_{O}), σ-след, по доказанному, существует и принадлежит пространству A(Θ). Если последовательность ψ^{j} = σf^{j}|_{O} сходится при j → ∞ к функции ψ ∈ A(Θ) по топологии пространства A(Θ), причем функция ψ не зависит от выбора последовательности f^{j}, то она и называется σ-следом функции f.

Имеет место

Теорема 2.4.4. [Прямая теорема о σ-следах] Пусть s ⩾ 2. Тогда для каждой функции f ∈ M^{s}(Ω_{O}) существует σ-след σf|_{O} ∈ A(Θ). При этом оператор f → σf|_{O} непрерывно отображает пространство M^{s}(Ω_{O}) в A(Θ).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно показать, что указанный оператор непрерывно отображает пространство T^{∘}^{∞}(Ω_{O}) с индуцированной пространством M^{s}(Ω_{O}) топологией в пространство A(Θ). Для этого необходимо доказать, что для любого h ∈ (0, 1) существует такое число R ∈ (0, R_{0}) и такая постоянная c > 0, что для любой функции f ∈ T^{∘}^{∞}(Ω_{O}) справедлива оценка

∥σf|_{O}∥_{h} ⩽ c∥f∥_{s,R}. (2.4.27) Пусть f_{k}^{l} – коэффициенты разложения функции f ∈ T^{∘}^{∞}(Ω_{O}) по угловым

гармоникам Y_{k}^{l}. Тогда функции χ_{R}f_{k}^{l} принадлежат пространству C^{∘}_{k}^{∞}(0, 2R), а, значит, и пространству H^{∘}_{k}^{s}(0, 2R). По прямой теореме о весовых следах 2.2.3 для любой функции g ∈ H^{∘}_{k}^{s}(0, 2R) справедлива оценка

|σ_{k}(r)g(r)|_{r=0}| ⩽ C_{s,R}(2aR)^{k}∥g∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,2R)},

если s ⩾ 2. Полагая в этом неравенстве g = χ_{R}f_{k}^{l}, получим

|σ_{k}(r)f_{k}^{l}(r)|_{r=0}| ⩽ C_{s,R}(2aR)^{k}∥χ_{R}f_{k}^{l}∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,2R)}.

Далее, так как

σf|_{O}= ∑_{k} ∑_{l} σ_{k}(r)f_{k}^{l}(r)|_{r=0}Y_{k}^{l}(φ),

то для любого h ∈ (0, 1) из предыдущей оценки получаем

∥σf|_{O}∥_{h}^{2} = ∑_{k} ∑_{l}|σ_{k}(r)f_{k}^{l}(r)|_{r=0}|^{2}h^{−2k} ⩽

⩽ C_{s,R} ∑_{k} ∑_{l}(2aR)^{2k}h^{−2k}∥χ_{R}f_{k}^{l}∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,2R)}^{2} ⩽

⩽ C_{s,R} ∑_{k} ∑_{l} ∥χ_{R}f_{k}^{l}∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,2R)}^{2},

где положено R = \frac{h}{2a}. Теорема доказана.

Следующая лемма потребуется для доказательства основной обратной теоремы о σ-следах.

Лемма 2.4.5. Функции следующего вида: 1) th^{−k}(r/2)Y_{k}^{l}(φ) при натуральных k и 2) ln(th(r/2)) являются ℍ-гармоническими на всей плоскости ℍ^{2}, за исключением точки O, то есть в ℍ^{2} \ {O}.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1) В самом деле, используя равенства sh(r)D_{r}(th^{−k}(r/2)) = −k th^{−k}(r/2) и sh^{−1}(r)D_{r} sh(r)D_{r} = D_{r}^{2} + cth(r)D_{r}, имеем

Δ(th^{−k}(r/2)Y_{k}^{l}(φ)) = (D_{r}^{2} + cth(r)D_{r} + sh^{−2}(r)D_{φ}^{2})(th^{−k}(r/2)Y_{k}^{l}(φ)) =

= Y_{k}^{l}(φ) (sh^{−1}(r)D_{r} sh(r)D_{r}) th^{−k}(r/2) + sh^{−2}(r) th^{−k}(r/2)D_{φ}^{2}Y_{k}^{l}(φ) =

= Y_{k}^{l}(φ) [sh^{−1}(r)D_{r}(−k th^{−k}(r/2)) − k^{2} sh^{−2}(r) th^{−k}(r/2)] =

= Y_{k}^{l}(φ) [−k sh^{−2}(r) sh(r)D_{r}(th^{−k}(r/2)) − k^{2} sh^{−2}(r) th^{−k}(r/2)] =

= Y_{k}^{l}(φ) [−k sh^{−2}(r)(−k th^{−k}(r/2)) − k^{2} sh^{−2}(r) th^{−k}(r/2)] = 0.

2) В логарифмическом случае, отвечающем значению параметра k = 0, имеем

Δ ln(th(r/2)) = (D_{r}^{2} + cth(r)D_{r} + sh^{−2}(r)D_{φ}^{2}) ln(th(r/2)) =

= (D_{r}^{2} + cth(r)D_{r}) ln(th(r/2)) = −\frac{ch(r)}{sh^{2}(r)} + \frac{ch(r)}{sh(r)} \frac{1}{sh(r)} = 0. Лемма полностью доказана. Докажем теперь следующую основную для этого раздела теорему. Теорема 2.4.5. [Обратная теорема о σ-следах] Для любой функции ψ ∈

A(Θ) существует функция f, гармоническая на всей плоскости ℍ^{2} \ {O} с выколотой точкой O и принадлежащая пространствам M^{s}(Ω_{O}) при любых s ⩾ 0, для которой ψ является ее σ-следом. При этом для любого R ∈ (0, R_{0}) существует число h ∈ (0, 1) такое, что имеет место неравенство

∥f∥_{s,R} ⩽ c∥ψ∥_{h} (2.4.28) с постоянной c > 0, не зависящей от выбора функции ψ.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция ψ ∈ A(Θ) и ψ_{k}^{l} – ее коэффициенты разложения в ряд по гармоникам. Функцию f, о которой говорится в теореме, определим формулой

f(r, φ) = ψ_{0}^{1} ln(1/τ(r)) + ∑_{k=1}^{∞} ∑_{l=1}^{2} τ^{−k}(r)ψ_{k}^{l}Y_{k}^{l}(φ). (2.4.29)

Напомним, что под функцией τ мы понимаем функцию τ(r) = th(r/2). Отметим, что так как ψ ∈ A(Θ), то ее коэффициенты Фурье ψ_{k}^{l} быстро стремятся к нулю при k → ∞, поэтому ряд (2.4.29) сходится абсолютно и равномерно вне любого геодезического круга с центром в O к аналитической функции. По той же причине и по лемме 2.4.5 функция f будет даже гармонической во всей плоскости ℍ^{2} за исключением точки O.

Покажем справедливость оценки (2.4.28). Пусть s ⩾ 2 - четное число. Тогда, используя свойство операторов преобразования (1.2.22), получаем

∥χ_{R}τ^{−k}∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,2R)}^{2} ⩽ \frac{c_{s}^{2}}{s_{k}^{2}} ∥(D^{2} − \frac{1}{4})^{s/2} S_{k}(χ_{R}τ^{−k})∥_{L_{2}(0,2R)}^{2} = (2.4.30)

= \frac{c_{s}^{2}}{s_{k}^{2}} ∥S_{k}B_{k}^{s/2}(χ_{R}τ^{−k})∥_{L_{2}(0,2R)}^{2} .

Напомним, что ранее в разделе 1.1 мы ввели дифференциальный оператор

ℬ _{−k}=\frac{1}{Q_{−k}} DQ_{−k}D = D^{2}+ \frac{ch(r) − 2k}{sh(r)}D, D=\frac{∂}{∂r}, Q_{−k}(r) = sh(r) th^{−2k}(r/2).

Тогда, применяя соотношение типа Дарбу-Вайнштейна (1.2.26), из (2.4.30) получаем

∥χ_{R}τ^{−k}∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,2R)}^{2} ⩽ \frac{c_{s}^{2}}{s_{k}^{2}} ∥S_{k}(τ^{−k}ℬ −k^{\frac{s}{2}}χ_{R})∥_{L_{2}(0,2R)}^{2}. (2.4.31)

Так как χ_{R}(r) = 1 при 0 ⩽ r ⩽ R, то

ℬ _{−k}χ_{R}(r) = \frac{1}{Q_{−k}} DQ_{−k}Dχ_{R}(r) = 0

при тех же значениях r. Значит, и ℬ −k^{\frac{s}{2}}χ_{R}(r) = 0 при r ⩽ R, а также и при r ⩾ 2R, поскольку χ_{R}(r) = 0 при r ⩾ 2R. Отсюда следует, что функция ℬ −k^{\frac{s}{2}}χ_{R} бесконечно дифференцируема, имеет компактный носитель и обращается в нуль вблизи начала. Следовательно, ℬ −k^{\frac{s}{2}}χ_{R} ∈ C^{∘}_{+}^{∞}[0, ∞). Тогда на основании леммы 2.2.2 из формулы (2.4.31) получаем

∥τ^{−k}χ_{R}∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,2R)}^{2} ⩽ c_{s} ∫_{R}^{2R}|ℬ −k^{\frac{s}{2}}χ_{R}(r)|^{2}τ^{−2k}(r) sh(r) dr ⩽ (2.4.32)

⩽ c_{s}τ^{−2k}(R) ∫_{R}^{2R}|ℬ −k^{\frac{s}{2}}χ_{R}(r)|^{2} sh(r) dr.

Так как χ_{R} ∈ C^{∞}[R, 2R], то легко показать справедливость довольно грубой, но достаточной для дальнейшего, оценки

|ℬ −k^{\frac{s}{2}}χ_{R}(r)| = |(D_{r}^{2} + \frac{ch(r) − 2k}{sh(r)}D_{r})^{\frac{s}{2}} χ_{R}(r)| ⩽ C_{s,R}(1 + k)^{\frac{s}{2}}, (2.4.33)

где, как обычно, через C_{...} > 0 обозначаются различные постоянные, зависящие только от нижних индексов, обозначенных нами многоточием. Отсюда и из (2.4.32) следует неравенство

∥τ^{−k}χ_{R}∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,2R)}^{2}⩽C_{s,R}(1+k)^{s}τ^{−2k}(R)∫_{R}^{2R}sh(r) dr⩽C_{s,R}(1+k)^{s}τ^{−2k}(R). (2.4.34)

Таким образом,

∑_{k} ∑_{l} ∥τ^{−k}ψ_{k}^{l}χ_{R}∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,2R)}^{2} ⩽ C_{s,R} ∑_{k} ∑_{l} |ψ_{k}^{l}|^{2}τ^{−2k}(R)(1 + k)^{s}. (2.4.35)

Оценим теперь выражение ∥(1 − χ_{R})f∥_{H^{s}(Ω)}. Обозначим через \overline{R} диаметр области Ω. Тогда χ\overline{R}(r) = 1 на Ω и поэтому

∥(1 − χ_{R})f∥_{H^{s}(Ω)}^{2} = ∥χ\overline{R}(1 − χ_{R})f∥_{H^{s}(Ω)}^{2} ⩽ ∥χ\overline{R}(1 − χ_{R})f∥_{H^{∘}^{s}(U_{2\overline{R}})}^{2},

где U_{2\overline{R}} – шар с центром в O радиуса 2\overline{R}. Получим формулу

∥χ\overline{R}(1 − χ_{R})f∥_{H^{∘}^{s}(U_{2\overline{R}})}^{2} = ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} ∥χ\overline{R}(1 − χ_{R})ψ_{k}^{l}τ^{−k}∥_{H^{∘}_{k,+}^{s}(0,2\overline{R})}^{2} =

= ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} |ψ_{k}^{l}|^{2}∥χ\overline{R}(1 − χ_{R})τ^{−k}∥_{H^{∘}_{k,+}^{s}(0,2\overline{R})}^{2} =

= ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} |ψ_{k}^{l}|^{2} ∫_{R}^{2\overline{R}}|ℬ k^{\frac{s}{2}}χ\overline{R}(1 − χ_{R})τ^{−k}|^{2} sh(r) dr =

= ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} |ψ_{k}^{l}|^{2} ∫_{R}^{2\overline{R}}|ℬ −k^{\frac{s}{2}}χ\overline{R}(1 − χ_{R})|^{2}τ^{−2k}(r) sh(r) dr,

где мы еще раз использовали соотношение Дарбу-Вайнштейна. По аналогии с (2.4.33) проверяется справедливость следующей оценки:

max_{r} |ℬ −k^{\frac{s}{2}}χ\overline{R}(1 − χ_{R})| ⩽ C_{s,R}(1 + k)^{s}.

Объединяя две последние формулы, получаем

∥χ\overline{R}(1−χ_{R})f∥_{H^{∘}^{s}(U_{2\overline{R}})}^{2}⩽C_{s,R} ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} |ψ_{k}^{l}|^{2}(1+k)^{s}τ^{−2k}(R)∫_{R}^{2\overline{R}}sh(r) dr⩽ (2.4.36)

⩽ C_{s,R} ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} |ψ_{k}^{l}|^{2}(1 + k)^{s}τ^{−2k}(R).

При h < \frac{τ(R)}{2} имеем (1 + k)^{s}τ^{−2k} ⩽ C_{s}h^{−2k}, тогда из (2.4.35) и (2.4.36) получаем

∥f∥_{s,R}^{2} = ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} ∥χ_{R}τ^{−k}(r)ψ_{k}^{l}∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,2R)}^{2} + ∥(1 − χ_{R})f∥_{H^{s}(Ω)}^{2} ⩽

⩽ C_{s,R} ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} |ψ_{k}^{l}|^{2}h^{−2k} = C_{s,R}∥ψ∥_{h}^{2}.

Таким образом, оценка (2.4.28) доказана при всех четных s ⩾ 2. При доказательстве теоремы 2.4.2 было установлено неравенство ∥f∥_{s′,R} ⩽ C_{s,s′,R}∥f∥_{s,R}, справедливое при s′ < s. Отсюда следует справедливость оценки (2.4.28) при всех s ⩾ 0. Теорема доказана.

2.5. Заключительное замечание

В заключении главы покажем, что вложение пространства M^{s}(Ω_{O}) в M^{s′}(Ω_{O}) при s′ < s, непрерывность которого устанавливает теорема 2.4.2, не является вполне непрерывным (в другой терминологии – компактным), что кардинально отличается от свойств пространств Соболева–Никольского– Бесова, где аналогичные вложения в случае ограниченных областей всегда компактны.

В самом деле, пусть V – произвольное ограниченное множество в пространстве A(Θ). По обратной теореме о σ-следах существует ограниченное множество W, принадлежащее как пространству M^{s}(Ω_{O}), так и пространству M^{s′}(Ω_{O}), множество σ-следов функций из которого совпадает с V. Если указанный оператор вложения пространства M^{s}(Ω_{O}) в M^{s′}(Ω_{O}) был бы вполне непрерывным, то множество W было бы относительно компактно в пространстве M^{s′}(Ω_{O}). Тогда по прямой теореме о σ-следах его образ (множество σ-следов функций из W) был бы относительно компактным в пространстве A(Θ). Таким образом, любое ограниченное множество было бы относительно компактным в пространстве A(Θ). Но это возможно лишь в конечномерных пространствах, каковым A(Θ), очевидно, не является. Полученное противоречие и доказывает наше утверждение.

Краевая задача для эллиптических

уравнений с особенностью в

изолированных граничных точках

3.1. Постановка краевой задачи

Основной целью этой главы является изучение следующей краевой задачи. В области Ω_{O} рассмотрим уравнение Пуассона

Δu = f(x), x ∈ Ω_{O}. (3.1.1) Присоединим к этому уравнению краевое условие на ∂Ω_{O} следующего вида

u|_{∂Ω}= g(x), x ∈ ∂Ω, (3.1.2)

σu|_{O}= ψ(φ), φ ∈ Θ, (3.1.3) где через σu|_{O} обозначен, как и ранее, σ - след функции u в точке O ∈ Ω_{O}.

Краевая задача (3.1.1) – (3.1.3) порождает оператор следующего вида Λ : u → Λu = {Δu, u|_{∂Ω}, σu|_{O}}. Снабдим пространство ℳ ^{s} = M^{s}(Ω_{O}) × H^{s+\frac{3}{2}}(∂Ω) × A(Θ) топологией

прямого произведения.

Из результатов предыдущей главы непосредственно следует

Теорема 3.1.1. Оператор Λ непрерывно отображает пространство M^{s+2}(Ω_{O}) в ℳ ^{s} при любых s ⩾ 0.

Эта теорема вместе со следующей составляют основной результат всей диссертации.

Теорема 3.1.2. Оператор Λ имеет обратный оператор Λ^{−1}, непрерывно отображающий пространство ℳ ^{s} на пространство M^{s+2}(Ω_{O}) при любых четных s ⩾ 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы состоит из нескольких этапов и будет закончено в третьем разделе.

3.2. Изолированные особые точки гармонических функций и единственность решения сингулярной краевой задачи

Сначала рассмотрим одно свойство особых точек гармонических функций, представляющее, на наш взгляд, самостоятельный интерес. Оказывается, что σ-след полностью характеризует поведение сингулярной части гармонической функции в окрестности изолированной особой точки. Более точно это означает следующее.

Теорема 3.2.1. [Прямая и обратная теорема о σ–следах для гармонических функций] Для гармонической в Ω_{O} функции u существует σ-след в точке O, который принадлежит пространству A(Θ). Обратно, для любой функции ψ ∈ A(Θ) существует единственная (с точностью до гармонической в окрестности O функции) гармоническая в Ω_{O} функция u, для которой σu|_{O} = ψ.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть u – гармоническая в области Ω_{O} функция. Тогда в соответствии с теоремой 2.3.2 она разлагается на два гармонических слагаемых u = v + w. Регулярная функция v в некоторой круговой окрестности точки O раскладывается в ряд

v(r, φ) = ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} a_{k}^{l} th^{k}(r/2)Y_{k}^{l}(φ), (3.2.4)

сходящийся абсолютно и равномерно вместе со всеми производными в этой окрестности. Сингулярная функция w раскладывается в ряд

w(r, φ) = b_{0}^{1} ln \frac{1}{th(r/2)} + ∑_{k=1}^{∞} ∑_{l=1}^{2} b_{k}^{l} th^{−k}(r/2)Y_{k}^{l}(φ), (3.2.5)

сходящийся абсолютно и равномерно вне любой круговой окрестности точки O вместе со всеми производными.

Тогда σ-след функции v, очевидно, равен нулю. Для функции w при достаточно малых r > 0 имеем

(σw)(r, φ) = (σw)(φ) = b_{0}^{1} + ∑_{k=1}^{∞} ∑_{l=1}^{2} b_{k}^{l}Y_{k}^{l}(φ).

Правая часть этого соотношения не зависит от переменной r. Поэтому у него существует предел при r → +0, который по определению и является σ-следом. Следовательно,

σu|_{O}= σw|_{O}= ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} b_{k}^{l}Y_{k}^{l}(φ). (3.2.6)

Далее, поскольку функция w гармоническая во всей плоскости ℍ^{2} за исключением точки O и так как b_{k}^{l} th^{−k}(r/2) являются коэффициентами разложения функции w в ряд по угловым гармоникам, то для любого r > 0 имеем формулу

b_{k}^{l} th^{−k}(r/2) = ∫_{0}^{2π}w(r, φ)Y_{k}^{l}(φ)dφ.

Отсюда по неравенству Коши-Буняковского и нормированности Y_{k}^{l} получаем оценку

|b_{k}^{l}| th^{−k}(r/2) ⩽ (∫_{0}^{2π}|w(r, φ)|^{2}dφ)^{\frac{1}{2}} .

Таким образом, σw|_{O} ∈ A(Θ) и первая часть леммы доказана.

Для доказательства второй части предположим, что ψ ∈ A(Θ). Тогда имеет место формула

ψ(φ) = ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} ψ_{k}^{l}Y_{k}^{l}(φ),

в которой коэффициенты ψ_{k}^{l} допускают оценку |ψ_{k}^{l}| ⩽ C_{h}h^{k}, где h – любое положительное число и постоянная C_{h} зависит от h, но не зависит от параметров k и l. Среди функций вида u = v+w, где функция v определяется формулой (3.2.4), а функция w – формулой (3.2.5), требуется найти такую функцию u, чтобы σu|_{O}= ψ. Отметим, что σ-след функции u совпадает с σследом функции w и вычисляется по формуле (3.2.6). В силу однозначности разложений по угловым гармоникам в формуле (3.2.5) необходимо положить b_{k}^{l} = ψ_{k}^{l}. Таким образом, мы показали, что искомая функция необходимо должна иметь следующий вид

u(r, φ) = v(r, φ) + ∑_{k=0}^{∞} ∑_{l=1}^{d_{k}} ψ_{k}^{l} th^{−k}(r/2)Y_{k}^{l}(φ),

где v – произвольная гармоническая в окрестности точки O функция.

Угловые гармоники имеют очевидную оценку |Y_{k}^{l}(φ)| ⩽ \frac{1}{\sqrt{π}}. Отсюда вытекает, что функциональный ряд в предыдущей формуле сходится абсолютно и равномерно вне любого круга с центром в точке O. Каждое слагаемое этого ряда представляет собой гармоническую функцию, поэтому и сумма ряда есть гармоническая вне точки O функция. Теорема доказана.

Замечание. В терминах σ-следа можно дать классификацию изолированных особых точек гармонических функций. Так, если σu|_{O} = 0, то O является устранимой особой точкой. Если в разложении функции ψ = σu|_{O} в ряд по угловым гармоникам содержится конечное число слагаемых, то функция u имеет особенность типа полюса. В противном случае u имеет особенность типа существенной особой точки.

Теорема 3.2.2. [Теорема единственности] Пусть f ∈ M^{s}(Ω_{O}), g ∈ H^{s+\frac{3}{2}}(∂Ω), ψ ∈ A(Θ) и s ⩾ 0. Тогда у краевой задачи (3.1.1)–(3.1.3) существует не более одного решения в пространстве M^{s+2}(Ω_{O}).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть существует два решения u_{1}(x) и u_{2}(x). Рассмотрим функцию u(x) = u_{1}(x) − u_{2}(x). Решение краевой задачи Δu = 0, u|_{∂Ω} = 0, σu|_{O} = 0 имеет в O устранимую особенность. Тогда из предыдущих результатов следует, что сингулярная составляющая гармонической функции u отсутствует, то есть равна нулю, значит u ∈ H^{s+2}(Ω) и поэтому является решением регулярной однородной краевой задачи

Δu = 0 в областиΩ,

u|_{∂Ω}= 0 на границе области∂Ω, которая, как хорошо известно, имеет лишь тривиальное решение (см., например, [80]). Впрочем, этот факт имеет элементарное доказательство: используя декартовы координаты и интегрируя по частям, получим

0 = ∫_{Ω} uΔ_{ℝ}u \frac{dxdy}{y^{2}} = − ∫_{Ω} |∇u|^{2}dxdy,

где интеграл по границе отсутствует из-за однородноcти краевого условия. Таким образом, интеграл от неотрицательной функции равен нулю, поэтому ∇u ≡ 0, а сама функция u ≡ const. А так как на границе она равна нулю, то u ≡ 0.

3.3. Существование и оценка решения сингулярной краевой задачи

В этом разделе будет завершено доказательство основной теоремы 3.1.2.

Лемма 3.3.1. Пусть U_{\overline{R},O} = U\overline{R} \ \{O\}, где U\overline{R} – круг в ℍ^{2} радиуса \overline{R} с центром в точке O. Пусть s ⩾ 0 - четное число и функция f ∈ M^{s}(U_{\overline{R},O}) обращается в нуль вблизи границы круга U\overline{R}. Тогда существует функция v ∈ M^{s+2}(U_{\overline{R},O}) такая, что

Δv = f(x), x ∈ U_{\overline{R},O}, (3.3.7)

σv|_{O} = 0. (3.3.8) При этом оператор f → v непрерывно действует из пространства M^{s}(U_{\overline{R},O}) в пространство M^{s+2}(U_{\overline{R},O}).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сначала f ∈ T^{∘}^{∞}(U_{\overline{R},O}). Это означает, что имеет место разложение

f(r, φ) = ∑_{k=0}^{𝒦} ∑_{l=1}^{d_{k}} f_{k}^{l}(r)Y_{k}^{l}(φ), (3.3.9)

в котором 𝒦 = 𝒦 (f) натуральное число, причем f_{k}^{l} ∈ C^{∘}_{k}^{∞}(0, \overline{R}).

По одной из операторных сплетающих формул (1.2.26) типа Дарбу-Вайнштейна

B_{k} = D_{r}^{2}+ cth(r)D_{r}−\frac{k^{2}}{sh^{2}(r)} = th_{2}^{k} Q_{k}^{−1}D_{r}Q_{k}D_{r} th_{2}^{−k}, (3.3.10)

т.е.

B_{k} = th_{2}^{k} ℬ _{k} th_{2}^{−k}, ℬ _{k} = Q_{k}^{−1}D_{r}Q_{k}D_{r}, (3.3.11) где

Q_{k}(r) = sh(r) th^{2k}(r/2) = \frac{2 sh^{2k+1}(r/2)}{ch^{2k−1}(r/2)}, th_{2}(r) = th(r/2).

Эта формула позволяет явным образом обратить оператор B_{k} путем последовательного обращения операторов справа в (3.3.11).

Используя эту идею, найдем искомое решение v в виде

v(r, φ) = − 𝒦 ; ∑ ; k=0 ∑_{l=1}^{d_{k}} Y_{k}^{l}(φ) th^{k}(r/2)× (3.3.12)

× ∫_{r}^{\overline{R}} \frac{1}{sh(t) th^{2k}(t/2)} ∫_{0}^{t} sh(τ) th^{k}(τ/2)f_{k}^{l}(τ)dτdt,

удовлетворяющее по построению (3.3.7), что, впрочем, можно проверить прямым дифференцированием.

Функции из C^{∘}_{k}^{∞}(0, \overline{R}) имеют особенность в нуле не выше степенной порядка −k при k > 0 и логарифмической при k = 0. Отсюда следует, что повторный интеграл в (3.3.12) при r → +0 имеет следующий порядок:

1) при k ⩾ 2 порядка O(r^{2−k}),

2) при k = 1 порядка O(r ln(r)),

3) при k = 0 порядка O(1), и, следовательно, выполнено (3.3.8).

Покажем, что оператор f → v, определенный формулой (3.3.12), непрерывен в соответствующих топологиях. Обозначим через v_{k}^{l} функции вида

v_{k}^{l}(r) = th^{k}(r/2) ∫_{r}^{\overline{R}} \frac{1}{sh(t) th^{2k}(t/2)} ∫_{0}^{t} sh(τ) th^{k}(τ/2)f_{k}^{l}(τ)dτdt,

являющиеся коэффициентами Фурье разложения функции −v по угловым гармоникам.

Пусть R < min\{\frac{\overline{R}}{2}, 2b\}, где b ⩾ 1, точное значение которой мы выберем ниже. Тогда

v_{k}^{l}(r) = th^{k}(r/2) ∫_{r}^{\overline{R}} \frac{1}{sh(t) th^{2k}(t/2)} ∫_{0}^{t} sh(τ) th^{k}(τ/2)χ(r/(4b))f_{k}^{l}(τ)dτdt+

+th^{k}(r/2) ∫_{r}^{\overline{R}} \frac{1}{sh(t) th^{2k}(t/2)} ∫_{0}^{t} sh(τ) th^{k}(τ/2)(1−χ(r/(4b)))f_{k}^{l}(τ)dτdt ≡

≡ v_{k}^{l,1} + v_{k}^{l,2}, Введем функции v^{j}, j = 1, 2, по формуле

v^{j}(r, φ) = ∑_{k=0}^{K} ∑_{l=1}^{d_{k}} v_{k}^{l,j}(r)Y_{k}^{l}(φ)

и оценим в отдельности каждую из них.

Рассмотрим сначала функцию v^{1}(r, φ). По формуле Лейбница имеем B_{k}(χ_{R}v_{k}^{l,1}) = th_{2}^{k} ℬ _{k}(χ_{R} th_{2}^{−k} v_{k}^{l,1}) = (3.3.13)

= χ_{R}B_{k}v_{k}^{l,1} + 2 th_{2}^{k} \frac{∂χ_{R}}{∂r} \frac{∂(th_{2}^{−k} v_{k}^{l,1})}{∂r} + v_{k}^{l,1}ℬ _{k}(χ_{R}).

Для первого слагаемого справа имеем следующую формулу:

χ_{R}B_{k}v_{k}^{l,1} = χ_{R}χ_{R/(4b)}f_{k}^{l}(r) = χ_{R/(4b)}(r)f_{k}^{l}(r), так как χ_{R}χ_{R/(4b)} = χ_{R/(4b)}.

Учитывая, что Dχ_{R}(r) = 0 при 0 ⩽ r ⩽ R, а χ_{R/4}(r) = 0 при r ⩾ \frac{R}{2}, для второго слагаемого в (3.3.13) получаем следующее выражение:

2 th_{2}^{k} \frac{∂χ_{R}}{∂r} \frac{∂(th_{2}^{−k} v_{k}^{l,1})}{∂r} = −2\frac{∂χ_{R}}{∂r} sh^{−1} th_{2}^{−k} ∫_{0}^{R/2}sh th_{2}^{k} χ_{R/(4b)}f_{k}^{l}dτ. (3.3.14)

Из тех же соображений получаем следующее представление третьего слагаемого

v_{k}^{l,1}ℬ _{k}(χ_{R}) =

= (ℬ _{k}χ_{R}) th_{2}^{k} ∫_{r}^{\overline{R}} sh^{−1} th_{2}^{−2k} ∫_{0}^{t} sh th_{2}^{k} χ_{R/(4b)}(τ)f_{k}^{l}(τ)dτdt = (3.3.15)

= (ℬ _{k}χ_{R}) th_{2}^{k} ∫_{r}^{\overline{R}} sh^{−1} th_{2}^{−2k} ∫_{0}^{R/(2b)}sh th_{2}^{k} χ_{R/(4b)}(τ)f_{k}^{l}(τ)dτdt =

= (ℬ _{k}χ_{R})\frac{th_{2}^{−2k}(r) − th_{2}^{−2k}(\overline{R})}{2k} th_{2}^{k} ∫_{0}^{R/(2b)}sh th_{2}^{k} χ_{R/(4b)}f_{k}^{l}dτ.

Заметим, что эта формула справедлива для k > 0, в случае же k = 0 в ней появятся логарифмические выражения, оценка которых не представляет затруднений и мы ее опустим, тем более, что здесь речь идет о всего лишь об одном слагаемом в нижеследующих суммах.

Учитывая, что

\frac{2}{sh}Dχ_{R} + \frac{1}{−2k}ℬ _{k}χ_{R} = \frac{−1}{2k}ℬ _{−k}χ_{R},

из (3.3.13) - (3.3.15) находим B_{k}(χ_{R}v_{k}^{l,1}) = χ_{R/(4b)}f_{k}^{l}−

−\frac{1}{2k}(ℬ _{−k}χ_{R}) th_{2}^{−k} ∫_{0}^{R/(2b)}sh th_{2}^{k} χ_{R/(4b)}f_{k}^{l}dτ+ (3.3.16)

+\frac{1}{2k} th_{2}^{−2k}(\overline{R})(ℬ _{k}χ_{R}) th_{2}^{k} ∫_{0}^{R/(2b)}sh th_{2}^{k} χ_{R/(4b)}f_{k}^{l}dτ.

Теперь в силу формулы (2.4.22) получаем следующую оценку функции v^{1}:

∥v^{1}∥_{s+2,R}^{2} = ∑_{k} ∑_{l} ∥χ_{R}v_{k}^{l,1}∥_{H^{∘}_{k}^{s+2}(0,2R)}^{2} + ∥(1 − χ_{R})v^{1}∥_{H^{s+2}(U\overline{R})}^{2} ⩽

⩽ 3 ∑_{k} ∑_{l} ∥χ_{R/4}f_{k}^{l}∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,2R)}^{2}+

+3 ∑_{k} ∑_{l} \frac{1}{(2k)^{2}} (∥ th_{2}^{−k} ℬ _{−k}χ_{R}∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,2R)}^{2}+ (3.3.17)

+ th_{2}^{−4k}(\overline{R})∥ th_{2}^{k} ℬ _{k}χ_{R}∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,2R)}^{2}) | ∫_{0}^{R/(2b)}sh th_{2}^{k} χ_{R/(4b)}f_{k}^{l}dr|^{2} +

+∥(1 − χ_{R})v^{1}∥_{H^{s+2}(U\overline{R})}^{2} = 3Σ_{1} + 3Σ_{2} + ∥(1 − χ_{R})v^{1}∥_{H^{s+2}(U\overline{R})}^{2}.

Оценим каждое слагаемое справа в последней формуле. Слагаемое Σ_{1} допускает очевидную оценку

Σ_{1} ⩽ ∥f∥_{s,R/4}^{2}. (3.3.18) Рассмотрим интеграл, присутствующий во втором слагаемом. Введем

обозначение ω(r) = χ_{R/(4b)}r^{−k}f_{k}^{l}. Тогда указанный интеграл примет вид

Z_{k} = Z_{k}(ω, R) = ∫_{0}^{\frac{R}{2b}} sh th_{2}^{k} ω(r) dr = ∫_{0}^{\frac{R}{2b}} sh th_{2}^{k} P_{k}^{−\frac{1}{2}−k}w dr, w ≡ S_{k}^{\frac{1}{2}+k}ω,

где P_{k}^{−\frac{1}{2}−k} и S_{k}^{\frac{1}{2}+k} – операторы преобразования из пункта I.I. Напомним, что

P_{k}^{−\frac{1}{2}−k} = sh^{k} J^{−\frac{1}{2}−k} = sh^{k} J^{−k−1}J^{\frac{1}{2}} = sh^{k} Dk+1 ; \overline{ch}J^{\frac{1}{2}} = 2^{−k−1} sh^{k} D_{sh_{2}^{2}}^{k+1}J^{\frac{1}{2}},

где sh_{2}^{2} = sh_{2}^{2}(r) = sh^{2}(r/2). После замены переменной интегрирования t = sh_{2}^{2}(r) последний интеграл примет вид

Z_{k} = ∫_{0}^{sh^{2}(R/(4b))}t^{k}D_{t}^{k+1}J^{\frac{1}{2}}w dt =

(после k–кратного интегрирования по частям внеинтегральные члены при этом пропадают)

=(−1)^{k}k! ∫_{0}^{sh^{2}(R/(4b))}D_{t}J^{\frac{1}{2}}w dt = −k!J^{\frac{1}{2}}w(0)=\frac{−k!}{\sqrt{π}}∫_{0}^{\frac{R}{2b}}(ch(r)−1)^{−\frac{1}{2}} sh(r)w(r)dr=

= \frac{−\sqrt{2} k!}{\sqrt{π}} ∫_{0}^{\frac{R}{2b}} ch(r/2)w(r) dr ≡ \frac{−\sqrt{2} k!}{\sqrt{π}} ∫_{0}^{\frac{R}{2b}} ch_{2}(r)w(r) dr.

Отсюда следует, что

Z_{k} = \frac{−\sqrt{2} k!}{\sqrt{π}} ∫_{0}^{\frac{R}{2b}} ch_{2}(r)I^{s+k+\frac{1}{2}}I^{−s−k−\frac{1}{2}}w(r) dr =

= \frac{−\sqrt{2} k!}{\sqrt{π} Γ(s + k + \frac{1}{2})} ∫_{0}^{\frac{R}{2b}} ch_{2}(r) ∫_{r}^{\frac{R}{2b}}(t − r)^{s+k−\frac{1}{2}}(I^{−s−k−\frac{1}{2}}w)(t) dtdr =

(изменяя порядок интегрирования)

= \frac{−\sqrt{2} k!}{\sqrt{π} Γ(s + k + \frac{1}{2})} ∫_{0}^{\frac{R}{2b}}(I^{−s−k−\frac{1}{2}}w)(t) ∫_{0}^{t} (t − r)^{s+k−\frac{1}{2}} ch_{2}(r) drdt.

По неравенству Коши-Буняковского отсюда получаем оценку

|Z_{k}| ⩽ \frac{\sqrt{2} k!}{\sqrt{π} Γ(s + k + \frac{1}{2})} ∥I^{−s−k−\frac{1}{2}}w∥_{L_{2}(0,\frac{R}{2b})} ∥∫_{0}^{t} (t − r)^{s+k−\frac{1}{2}} ch_{2}(r) dr∥_{L_{2}(0,\frac{R}{2b})} ⩽

⩽ C_{s,R}(k + 1)^{−\frac{1}{2}−s}(2b)^{−k}R^{k} ∥I^{−s−k−\frac{1}{2}}w∥_{L_{2}(0,\frac{R}{2b})} =

= C_{s,R}(k + 1)^{−\frac{1}{2}−s}(2b)^{−k}R^{k} ∥I^{−s−k−\frac{1}{2}}S_{k}^{\frac{1}{2}+k}ω∥_{L_{2}(0,\frac{R}{2b})} = ( так как I^{−s}S_{k} = I^{−s−k−\frac{1}{2}}S_{k}^{\frac{1}{2}+k})

= C_{s,R}(k + 1)^{−\frac{1}{2}−s}(2b)^{−k}R^{k} ∥I^{−s}S_{k}ω∥_{L_{2}(0,\frac{R}{2b})} =

= C_{s,R}(k + 1)^{−\frac{1}{2}−s}(2b)^{−k}R^{k} ∥S_{k}ω∥_{H^{∘}^{s}(0,\frac{R}{2b})} =

= C_{s,R}(k + 1)^{−\frac{1}{2}−s}(2b)^{−k}R^{k}s_{k}∥ω∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,\frac{R}{2b})} ⩽

(по оценке (2.2.10))

= C_{s,R}(k + 1)^{−\frac{1}{2}−s}(2b)^{−k}(aR)^{k}∥ω∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,\frac{R}{2b})}

с абсолютной постоянной a из главы 1.

Возвращаясь к старым обозначениям, выпишем полученную окончательно оценку интеграла Z_{k} в следующем виде:

|Z_{k}| ⩽ C_{s,R}(2b)^{−k}(aR)^{k}∥χ_{R/(4b)}r^{−k}f_{k}^{l}∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,\frac{R}{2b})}. (3.3.19)

Продолжая оценивать второе слагаемое, заметим, что из результатов п. I.I следует, что

∥ th_{2}^{k} ℬ _{k}χ_{R}∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,2R)}^{2} ⩽ ∥ th_{2}^{k} ℬ _{k}χ_{R}∥_{H^{∘}_{k,+}^{s}(0,2R)}^{2} =

= ∫_{0}^{2R}|Bk^{\frac{s}{2}} th_{2}^{k} ℬ _{k}χ_{R}|^{2} sh(r) dr =

(по одной из формул типа Дарбу-Вайнштейна)

= ∫_{R}^{2R}| th_{2}^{k} ℬ _{k}^{\frac{s}{2}+1}χ_{R}|^{2} sh(r) dr ⩽ C_{s,R}(1 + k)^{s+2} ∫_{R}^{2R}th_{2}^{k}(r) dr ⩽

(так как th_{2}^{k}(r) = \frac{1}{k} sh(r)D_{r} th_{2}^{k}(r) и интегрируя по частям) ⩽ C_{s,R}(1 + k)^{s+1} th^{k}(R). Аналогичным образом доказывается оценка

∥ th_{2}^{−k} ℬ _{−k}χ_{R}∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,2R)}^{2} ⩽ ∥ th_{2}^{−k} ℬ _{−k}χ_{R}∥_{H^{∘}_{k,+}^{s}(0,2R)}^{2} =

= ∫_{R}^{2R}|Bk^{\frac{s}{2}} th_{2}^{−k} ℬ _{k}χ_{R}|^{2} sh(r) dr =

(по другой формуле типа Дарбу-Вайнштейна)

= ∫_{R}^{2R}| th_{2}^{−k} ℬ −k^{\frac{s}{2}}ℬ _{k}χ_{R}|^{2} sh(r) dr ⩽ C_{s,R}(1 + k)^{s+2} ∫_{R}^{2R}th_{2}^{−k} dr ⩽

(так как th_{2}^{−k}(r) = −\frac{1}{k} sh(r)D_{r} th_{2}^{−k}(r) и интегрируя по частям) ⩽ C_{s,R}(1 + k)^{s+1} th_{2}^{−k}(R). Два последних неравенства с учетом (3.3.19) приводят к следующей оценке второго слагаемого из формулы (3.3.17)

Σ_{2} ⩽ C_{s,R} ∑_{k,l}(2b)^{−2k}(aR)^{2k}(k + 1)^{−3−2s}(k + 1)^{s+1} (th_{2}^{−2k}(R)+

+ th_{2}^{−4k}(\overline{R}) th^{2k}(R)) ∥χ_{R/(4b)}f_{k}^{l}∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,R/(2b))}^{2} ⩽

⩽ C_{s,R} ∑_{k,l}(2b)^{−2k}(aR)^{2k}(k + 1)^{−2−s} th_{2}^{−2k}(R)∥χ_{R/(4b)}f_{k}^{l}∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,R/(2b))}^{2} ⩽

⩽ C_{s,R,b} ∑_{k,l} ∥χ_{R/(4b)}f_{k}^{l}∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,R/(2b))}^{2},

где мы использовали ранее наложенное ограничение R < min\{\frac{\overline{R}}{2}, 2b\} при любом выборе b > a. При этих ограничениях мы приходим к окончательной оценке второго слагаемого Σ_{2}:

Σ_{2} ⩽ C_{s,R,b} ∑_{k} ∑_{l} ∥χ_{R/(4b)}f_{k}^{l}∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,R/(2b))}^{2} ⩽ C_{s,R,b}∥f∥_{s,R/(4b)}^{2}. (3.3.20)

Для завершения оценки функции v^{1} осталось рассмотреть последнее третье слагаемое в (3.3.17). Поскольку χ\overline{R}(r) = 1 в круге U\overline{R}, то

∥(1 − χ_{R})v^{1}∥_{H^{s+2}(U\overline{R})} ⩽ c∥χ\overline{R}(1 − χ_{R})v^{1}∥_{H^{∘}^{s+2}(U_{2\overline{R}})}. (3.3.21)

По аналогии с формулами (3.3.13) – (3.3.16) имеем

B_{k}(χ\overline{R}(1 − χ_{R})v_{k}^{l,1}) =

−\frac{1}{2k}(ℬ _{−k}χ\overline{R}(1 − χ_{R})) th_{2}^{−k} ∫_{0}^{R/(2b)}sh th_{2}^{k} χ_{R/(4b)}f_{k}^{l}dτ+ (3.3.22)

+\frac{1}{2k} th_{2}^{−2k}(\overline{R})(ℬ _{k}χ\overline{R}(1 − χ_{R})) th_{2}^{k} ∫_{0}^{R/(2b)}sh th_{2}^{k} χ_{R/(4b)}f_{k}^{l}dτ.

Оценивая слагаемые, как и выше, мы придем к аналогичной оценке

∥(1−χ_{R})χ\overline{R}v^{1}∥_{H^{∘}^{s+2}(U_{2\overline{R}})}^{2}⩽C_{s,R,b} ∑_{k} ∑_{l} ∥χ_{R/(4b)}f_{k}^{l}∥_{H^{∘}_{k}^{s}(0,R/(2b))}^{2}⩽C_{s,R,b}∥f∥_{s,R/(4b)}^{2}.

Следовательно, ∥(1 − χ_{R})v^{1}∥_{H^{s+2}(U\overline{R})} ⩽ C_{s,R,b}∥f∥_{s,R/(4b)}. (3.3.23) Таким образом, (см. (3.3.18), (3.3.20), (3.3.23)) нами доказана следующая

итоговая оценка функции v^{1}:

∥v^{1}∥_{s+2,R} ⩽ C_{s,R,b}∥f∥_{s,R/(4b)}, (3.3.24) постоянная в которой не зависит от функции f.

Рассмотрим теперь функцию v^{2}. Нетрудно заметить, что она принадлежит пространству H^{s+2}(U\overline{R}) и является решением следующей краевой задачи

Δv^{2} = (1 − χ_{R/(4b)})f(x), x ∈ U\overline{R},

v^{2}|_{∂U\overline{R}} = 0. Причем, так как f ∈ M^{s}(U_{\overline{R},O}), то, очевидно, (1−χ_{R/(4b)})f ∈ H^{s}(U\overline{R}). Хорошо известно, что решение этой краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона единственно и для него справедлива оценка

∥v^{2}∥_{H^{s+2}(U\overline{R})} ⩽ ∥(1 − χ_{R/(4b)})f∥_{H^{s}(U\overline{R})}. Теперь из определения норм ∥ · ∥_{s,R} и из теоремы 2.4.1 имеем ∥v^{2}∥_{s+2,R} ⩽ C∥f∥_{s,R/(4b)}, (3.3.25)

где постоянная не зависит от функции f.

Таким образом, нами получены оценки каждого слагаемого разложения v = v^{1} + v^{2}. Следовательно, для любого R ∈ (0, \frac{\overline{R}}{2}) и s ⩾ 0 найдется такая постоянная s > 0, что для любой функции f ∈ T^{∘}^{∞}(U_{\overline{R},O}) имеет место неравенство

∥v∥_{s+2,R} ⩽ c∥f∥_{s,R/4}. Завершим доказательство леммы предельным переходом. Пусть f ∈ M^{s}(U_{\overline{R},O}) удовлетворяет условию леммы. Тогда найдется последовательность функций f_{m} ∈ T^{∘}^{∞}(U_{\overline{R},O}), сходящаяся к f по топологии этого пространства. Для каждой функции f_{m} определим функции v_{m} по формуле (3.3.12). Тогда

Δv_{m} = f_{m} → f, m → ∞. (3.3.26) По доказанному, отображение f_{m} → v_{m} непрерывно действует из пространства M^{s}(U_{\overline{R},O}) в пространство M^{s+2}(U_{\overline{R},O}). В силу этого последовательность v_{m} фундаментальна в M^{s+2}(U_{\overline{R},O}). Отсюда, в силу полноты пространства M^{s+2}(U_{\overline{R},O}), существует функция v ∈ M^{s+2}(U_{\overline{R},O}), являющаяся пределом последовательности функции v_{m} в смысле топологии этого пространства.

Оператор Δ непрерывно отображает пространство M^{s+2}(U_{\overline{R},O}) в M^{s}(U_{\overline{R},O}). Поэтому Δv_{m} → Δv при m → ∞ в смысле пространства M^{s}(U\overline{R}). Тогда из (3.3.26) следует, что Δv = f. По прямой теореме о σ-следах имеем

lim_{m→∞} σv_{m}|_{O} = σv|_{O},

где предельный переход понимается в смысле пространства A(Θ). Поскольку σv_{m}|_{O} = 0, то тогда и σv|_{O} = 0.

Лемма 3.3.1 полностью доказана.

Теперь докажем теорему 3.1.2. Утверждение о единственности решения краевой задачи (3.1.1)-(3.1.3) установлено в теореме 3.2.2. Существование решения докажем следующим образом. Пусть \overline{R} – диаметр области Ω и пусть функция u^{1} ∈ M^{s+2}(U_{\overline{R},O}) является решением краевой задачи

Δu^{1} = χ_{R_{0}}f(x), x ∈ U_{\overline{R},O},

σu^{1}|_{O} = 0, указанным в лемме 3.3.1.

Пусть функция u^{2} является решением краевой задачи

Δu^{2} = (1 − χ_{R_{0}})f(x), x ∈ Ω,

u^{2}|_{∂Ω} = g − u^{1}|_{∂Ω} − u_{∂Ω}^{3}, где через u^{3} обозначена гармоническая в ℍ^{2}\{O} функция, построенная в теореме 2.4.5, такая, что

σu^{3}|_{O} = ψ. Тогда функция u = u^{1} + u^{2} + u^{3} является решением краевой задачи (3.1.1)- (3.1.3).

Функция u принадлежит пространству M^{s+2}(Ω_{O}). Это следует из того, что u^{1} ∈ M^{s+2}(Ω_{O}) по лемме 3.3.1, u^{3} ∈ M^{s+2}(Ω_{O}) по теореме 2.4.5, u^{2} ∈ H^{s+2}(Ω) ⊂ M^{s+2}(Ω_{O}) по общей теории эллиптических краевых задач (см., например, [105]). Из этих результатов вытекает и непрерывность разрешающего оператора Λ^{−1}. Теорема 3.1.2 доказана.

Список литературы

1. Алексеев Г.В. Классические методы математической физики. Владивосток: Изд-во ДВГУ, 2003. 416 с.

2. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Анализ и оптимизация в гидродинамике вязкой жидкости. Владивосток: Дальнаука, 2008. 364 с.

3. Алхутов Ю.А., Кондратьев В.А. Разрешимость задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в выпуклой области // Дифференц. ур-я. 1992. �5. C. 806 – 818.

4. Бейтемен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1973. Т.1. 294 с.

5. Бейтемен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1974. Т.2. 294 с.

6. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. 480 с.

7. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.

8. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд. АН СССР, 1959. 164 с.

9. Борсук М.В. О разрешимости задачи Дирихле для линейных эллиптических уравнений второго порядка в области с коническими точками // Успехи мат. наук. 1993. Т.48, �4. С. 176-177.

10. Борсук М.В. О разрешимости первой краевой задачи эллиптических уравнений второго порядка в области с конической точкой // Мат. физ., анализ, геометрия. 1997. Т.4, �4. С. 428-452.

11. Борсук М.В. Вырождающиеся эллиптические краевые задачи второго порядка в негладких областях // Совр. мат. Фунд. напр. 2005. Т.13. С. 1-135.

12. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. 400 с.

13. Волков Е.А. О решении краевых задач для уравнения Пуассона в прямоугольнике // Докл. АН. 1962. Т.147, � 1. С. 13-16.

14. Волков Е.А. О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнения Лапласа и Пуассона на прямоугольнике // Тр. МИАН СССР. 1965. Т.77. С. 89-112.

15. Волков Е.А. О дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнения Лапласа на многоугольниках // Тр. МИАН СССР. 1965. Т.77. С. 113-142.

16. Волков Е.А. О дифференциальных свойствах решений уравнений Лапласа и Пуассона на параллелепипеде и эффективных оценках погрешности метода сеток // Тр. МИ им. В.А. Стеклова. 1969. Т. 105. С. 46-65.

17. Волков Е.А. Об одном свойстве решений уравнения Пуассона на многоугольниках // Матем. заметки. 1999. Т.66, � 2. С. 178-180.

18. Волков Е.А. О разрешимости в классе многочленов задачи Дирихле для уравнения Лапласа на произвольном многоугольнике // Тр. МИАН. 2001. Т.232. С. 102-114.

19. Гилбарг Д., Трудингер. Н Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, Гл.ред.физ.-мат. лит., 1989. 464 с.

20. Глушко В.П. Коэрцитивность в L_{2} общих граничных задач для вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка // Функц. анализ и его прил. 1968. Т.2, � 3. С. 87–88.

21. Глушко В.П., Савченко Ю.Б. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка: пространства, операторы, граничные задачи // Матем. анализ. 1985. Т.23. С. 125-218.

22. Глушко В.П., Ярцева Н.А. Об одной эллиптической периодической задаче с вырождением в L_{p} // Мат. заметки. 1998. Т. 63, �4. C. 628 – 632.

23. Гущин А.К., Михайлов В.П. О существовании граничных значений решений эллиптического уравнения // Мат. сб. 1991. Т. 182, �6. С. 787 – 810.

24. Гущин А.К., Михайлов В.П. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка // Мат. сб. 1994. Т. 185, �1. C. 121 – 160.

25. Егоров Ю. В., Кондратьев В. A., Олейник О. А. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических и параболических систем в цилиндрических областях // Мат. сб. 1998. Т.189, � 3. С. 45—68.

26. Емцева Е.Д., Катрахов В.В. Об одном классе операторов преобразования // Дальневосточный математ. журнал. 2007. Т.7, � 1-2. С. 62-78.

27. Емцева Е.Д. Сингулярные функциональные пространства: Препринт � 03. ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука ДВО РАН, 2007. 35 с.

28. Емцева Е.Д., Катрахов В.В. Разрешимость сингулярной краевой задачи в областях плоскости Лобачевского // Сиб. журн. индустр. матем. 2008. Т.11, � 3 С. 71-85.

29. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 584 с.

30. Ибрагимов А.И. О поведении в окрестности граничных точек и теоремы об устранимых множествах для эллиптических уравнений второго порядка с непрерывными коэффициентами // Докл. АН СССР. 1980. Т. 250, �1. С. 25-28.

31. Ильин А.М., Леликова Е.Ф. Асимптотика решений некоторых эллиптических уравнений в неограниченных областях // Мат. сб. 1982. Т. 119, � 3. С. 307-324.

32. Ильин А.М., Леликова Е.Ф. Асимптотика решений некоторых эллиптических уравнений высокого порядка в конических областях // Мат. сб. 1984.

Т. 125, �1. С. 88–116.

33. Ильин А.М., Зырянова Т.Ю. Асимптотика решения эллиптического уравнения с малым параметром при старших производных, вырождающиеся на границе области // Дифференц. ур-я. 1997. Т.34, � 8. С 1092-1099.

34. Ильин А.M., Сулейманов Б.И. Поведение решения эллиптического уравнения с малым параметром в окрестности внутренней особой точки. Алгоритмический анализ неустойчивых задач // Тез. докл. Всероссийской конференции. Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 2004. С. 166-167.

35. Ильин А.М., Ялышева Т.Ю.Эллиптическое уравнение с малым параметром при старших производных, вырождающиеся на границе области // Дифференц. ур-я. 1997. Т.33, � 6. С. 847-848.

36. Катрахов В.В. Общие краевые задачи для одного класса сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений // Мат. сб. 1980. Т. 112, �3 C. 354 – 379.

37. Катрахов В.В. Об одной сингулярной краевой задаче для уравнения Пуассона // Мат. сб. 1991. Т. 182, �6 C.849 – 876.

38. Катрахов В.В. Краевая задача для уравнения Пуассона с особенностями произвольного порядка в граничных точках // Коррект. краев. задачи для некласс. ур-ий АН СССР. Ин-т мат. 1990. C.109 – 123.

39. Катрахов В.В. Сингулярные краевые задачи для некоторых эллиптических уравнений в областях с угловыми точками // Докл. АН СССР. 1991. Т. 316, �5. С. 1047-1050.

40. Катрахов В.В., Мазелис Л.С. Непрерывность, пополнение, замыкание в метрических пространствах. Владивосток: ДВГУ, 2000. 112 с.

41. Катрахов В.В., Емцева Е.Д. Об одном классе операторов преобразования: Препринт �5. ИПМ ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука ДВО РАН, 2005. 8с.

42. Катрахов В.В., Емцева Е.Д. Сингулярная краевая задача в областях пространства Лобачевского // Докл. АН. 2007. Т. 412, � 6. С. 736-738.

43. Катрахов В.В., Киселевская С.В. Сингулярная эллиптическая краевая задача в областях с угловыми точками. Функциональные пространства // Дифференц. ур-я. 2006. Т. 42, �3. С. 422-430.

44. Катрахов В.В., Киселевская С.В. Сингулярная эллиптическая краевая задача в областях с угловыми точками. Краевая задача // Дифференц. ур-я. 2006. Т. 42, �4. С. 548-555.

45. Катрахов В.В., Киселевская С.В. Эллиптическая краевая задача в областях на конусе: Препринт �7. Владивосток: ИПМ ДВО РАН, 2004. 32с.

46. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // Докл. АН СССР. 1951. Т.77. C. 181 – 183.

47. Килбас А.А., Шлапаков С.А. Об интегральном преобразовании типа Бесселя и его композиции с интегральными и дифференциальными операторами // Докл. АН Беларусии. 1993. Т. 37, �4. C. 10 – 14.

48. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М.: ФИЗМАТЛИТ, Наука, 1997. 208с.

49. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. 624с.

50. Кондратьев В.А. Граничная задача для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. Моск. мат. общества. 1967. 16. C.227 – 313.

51. Кондратьев В.А. О гладкости решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка в кусочно-гладкой области // Дифференц. ур-я. 1970. Т.6, �10. С. 1831-1843.

52. Кондратьев В.А.Об асимптотических свойствах решений полулинейных эллиптических уравнений второго порядка в цилиндрических областях // Тр. семинара им. И.Г.Петровского. 2006. 25. С. 98-111.

53. Кондратьев В.А., Никишин В. А. Об асимптотическом поведении вблизи границы решений сингулярной краевой задачи для полулинейного эллиптического уравнения // Дифференц. ур-я. 1990. Т.26, � 3. С.465-468.

54. Кондратьев В.А., Никишин В. А. Об асимптотике вблизи кусочно-глад-кой границы сингулярных решений полулинейных эллиптических уравнений // Мат. заметки. 1994. Т.56, � 1. С.50-56.

55. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях // Успехи мат. наук. 1983. Т.38, �2. С. 3-76.

56. Крупская Д.А. О регулярности граничных точек для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка // Дифференц. ур-я. 1977. � 4. С.654-667.

57. Крылов Н.В. О первой краевой задаче для эллиптических уравнений // Дифференц. ур-я. 1967. Т. 3, � 2. С.315-325.

58. Ладынежская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576с.

59. Ладынежская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408с.

60. Ландис Е.М. Необходимые и достаточные условия регулярности граничной точки для задачи Дирихле для уравнения теплопроводности // Докл. АН. 1969. Т 185, � 3. С.517-520.

61. Ларионов Е.А. Дифференциальные уравнения гиперболического типа // Дифференц. ур-я. 1992. �1. C.91 – 96.

62. Левитан Б.М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // Успехи матем.наук.1951. Т. 6, �2. C.102 – 143.

63. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением (случай обобщенных решений) // Тр. МИАН. 1981. Т.157. С. 90 – 118.

64. Лизоркин П.И., Никольский С.М. Коэрцитивные свойства эллиптического уравнения с вырождением и обобщенной правой частью // Тр. МИАН. 1983. Т.161. С. 157 – 183.

65. Мазья В.Г. О регулярности на границе решений эллиптических уравнений и конформного отображения // Докл. АН. 1963. Т.152, �6. С. 1297-1300.

66. Мазья В.Г. О модуле непрерывности решения задачи Дирихле вблизи нерегулярной границы // Проблемы математического анализа. Изд-во ЛГУ. 1966. С. 45-58.

67. Мазья В.Г. О поведении вблизи границы решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в дивергентной форме // Матем. заметки. 1967. Т.2, � 2. С. 209-220.

68. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Об эллиптических краевых задачах в области с кусочно-гладкой границей // Труды Симпозиума по механике сплошной среды и родственным проблемам анализа. Тбилиси. 1973. � 1. C. 171-181.

69. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Об эллиптических краевых задачах с разрывными коэффициентами на многообразиях с особенностями // Докл. АН. 1973. Т.210, �3. С. 529-532.

70. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О фундаментальных решениях эллиптических краевых задач и принцип максимума Миранда-Агмона в областях с коническими точками // Сообщ. АН Груз. ССР. 1974. Т. 73, � 2. С. 277-280.

71. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в конусе // Докл. АН. 1974. Т.219, �2. С. 296-290.

72. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в конусе // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1975. Т. 52. С. 110-127.

73. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Эллиптические краевые задачи на многообразиях с особенностями // Проблемы математического анализа. ЛГУ. 1977. � 6. C. 85-145.

74. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Весовые пространства с неоднородными нормами и краевые задачи в областях с коническими точками // Elliptische Differential-Gleichungen, Vortrage der Tagung in Rostok. 1977. � 10. C. 161-190.

75. Мамедов И.Т. О граничных свойствах решений задачи Дирихле для эллиптических и параболических уравнений 2-го порядка // Докл. АН УССР. сер. А. 1981. �2. С.18-22.

76. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка, 1977. 331с.

77. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977. 504с.

78. Мирошин Н.В. Вариационная задача Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического оператора // Дифференц. ур-я. 1988. Т.24, � 3. С. 455 – 464.

79. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. 392с.

80. Михайлов А.Г. О некоторых сингулярных уравнениях с частными производными // Докл. АН СССР. 1991. Т. 319, �1. C. 46 – 52.

81. Михлин С.Г. Курс матеметической физики. С-Пб.: изд-во Лань, 2002. 576с.

82. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. М.: Наука, 1991. 336с.

83. Назайкинский В.Е., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е., Б. В. Шульце. Спектральные краевые задачи и эллиптические уравнения на многообразиях с особенностями // Докл. АН. 1999. Т.367, �5. С.597-599.

84. Никольский С.М. Задача Дирихле в областях с углами // Докл. АН. 1956. Т.109, �1. С. 33–35.

85. Никольский С.М. Граничные свойства функций, определенных на областях с угловыми точками // Мат. сб. 1957. Т. 43, � 1. С.127–144.

86. Никольский С.М. Вариационная проблема для уравнения эллиптического типа с вырождением на границе // Тр. МИ им. В.А. Стеклова. 1979. Т.

150. С. 212 – 238.

87. Никольский С.М., Лизоркин П.И., Мирошин Н.В. Весовые функциональные пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений // Известия высших учебных заведений. Математика. 1988. � 8. С. 3 – 30.

88. Новрузов А.А. О модуле непрерывности решения задачи Дирихле в регулярной граничной точке // Матем. заметки. 1972. Т.12, � 1. С. 67-72.

89. Новрузов А.А. О задачах Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка // Докл. АН СССР. 1979. Т.246, �1. С. 11-14.

90. Новрузов А.А. О необходимом и достаточном условии регулярности граничных точек для квазилинейных эллиптических уравнений 2-го порядка // Докл. АН. 1975. Т.223, � 6. С.1311-1313.

91. Олейник О.А. О задаче Дирихле для уравнений эллиптического типа // Мат. сб. 1949. Т. 24, � 1. С.3-14.

92. Олейник О.А., Радкевич Е.В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Матем. анализ. 1969. Итоги науки. М.: ВИНИТИ. 1971.

93. Переломов А.М. Обобщенные когерентные состояния и их применения. М. : Наука. Гл. ред. ФИЗМАТЛИТ, 1987. 272 с.

94. Рукавишников В.А. Задача Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных // Докл. АН. 1994. Т. 337, �4. С. 447-449.

95. Рукавишников В.А. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с несогласованным вырождением исходных данных // Дифференц. ур-я. 1996. Т.32, � 3. С. 402 – 408.

96. Рукавишников В.А. О единственности R_{ν} -обобщенного решения для краевых задач с несогласованным вырождением исходных данных // Докл. РАН. 2001. Т.376, � 4. С. 451 – 453.

97. Рукавишников В.А., Ереклинцев А.Г. О коэрцитивности R_{ν} -обоб-щенного решения первой краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных // Дифференц. ур-я. 2005. Т.41, � 12. С. 1680 – 1689.

98. Рукавишников В.А.,Кузнецова Е.В. Коэрцитивная оценка для краевой задачи с несогласованным вырождением исходных данных // Дифференц. ур-я. 2007. Т.43, � 4. С. 533 – 543.

99. Рукавишников В.А.,Кузнецова Е.В. О принадлежности R_{ν} - обобщенного решения краевой задачи с сингулярностью пространству W_{2,ν+β/2+k+1}^{k+2}(Ω, δ) // Дифференц. ур-я. 2009. Т.45, � 6. С. 894 – 898.

100. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688с.

101. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. 808с.

102. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. 5 изд.,испр. М.: Наука, 1992. 431с.

103. Тихонов А.Н.,Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 736с.

104. Фуфаев В.В. К задаче Дирихле для областей с углами // Докл. АН СССР. 1960. Т.131, �1. С. 37-39.

105. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. М.: Мир, 1987. 735с.

106. Чечкин Г.А. Усреднение краевых задач с сингулярным возмущением граничных условий // Мат. сб. 1993. Т. 184, �6. C. 99 – 150.

107. Шишмарев И.А. Введение в теорию эллиптических уравнений. М.: изд-во МГУ, 1979. 184 с.

108. Яковлев Г.Н.Неограниченные решения вырождающихся эллиптических уравнений // Тр. МИАН. 1978. Т.117. С. 312-320.

109. Янушаускас А.И. Аналитическая теория эллиптических уравнений. Новосибирск: Наука, 1979. 190 с.

110. T. Carleman. Uber das Neumann - Poincaresche problem fur ein Gebiet mit Ecken.- Diss. Upsala, 1916.

111. Martin Costabel, Monique Dauge. Crack singularities for general elliptic systems // Math. Nachr. 2002. � 235. P. 29 – 49.

112. R.M. Herve. Recherches axiomatiques sur la theorie des fonctions surharmoniques et du potentiel // Ann. Inst. Fourier. 1962. � 12. P. 415-471.

113. Kondratiev V. A., Oleinik O. A. Boundary value problems for nonlinear elliptic equations in cylindrical domains // J. Part. Different. Equations. 1993. V. 6, �1. P. 10—16.

114. Kozlov V. A., Maz’ya V. G.,Rossmann J. Elliptic boundary value problems in domains with point singularities // Math. Surveys Monogr. 1997. V. 52.

115. Maz’ya V.G., Plamenevskii B.A. On the coeffitients in the asymptotics of solutions of elliptic boundary value problems in domains with conical points // Math. Nachr. 1977. � 76. P. 29-60.

116. Maz’ya V.G., Plamenevskii B.A. Estimates in L_{p} and in Holder classes and Miranda-Agmon maximum principle for solutions of elliptic boundary value problems in domains with singular points on the boundary // Math. Nachr. 1978. � 81. P. 59-82.

117. Oleinik O. A., Radkevich E.V. Second order equations with nonnegative characteristic form. New York – London: AMS, Plenum Press. 1973.

118. G. Tautz. Zur Theorie der ersten Randwertaufgaben // Math. Nachr. 1949. � 2. P. 279–303.

119. Yan Zhimin. Differential operators and function spaces. // Several Complex Variables China - Providence(R.I.). 1993. P.121 – 142.